Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

320 16 Unbegrenzt teilbare Verteilungen
Ohne Beweis bringen wir die folgende Verschärfung von Korollar 16.8, die auf einer
feineren Analyse mit den Argumenten aus Satz 16.6 beruht.
Satz 16.12. Sei (ϕn,l; l =1,...,kn, n∈ N) ein Schema von CFWs mit der Eigenschaft
sup lim sup sup sup |ϕn,l(t) − 1| =0. (16.4)
L>0 n→∞ t∈[−L,L] l=1,...,kn
�kn Existiert für jedes t ∈ R der Limes ϕ(t) := limn→∞ l=1 ϕn,l(t), und ist ϕ stetig
in 0, soistϕeine unbegrenzt teilbare CFW.
Beweis. Siehe etwa [53, Kapitel XV.7]. ✷
n→∞
In dem Fall, wo für jedes n die ϕn,l alle gleich sind und kn −→ ∞, gilt (16.4)
automatisch, wenn das Produkt gegen eine stetige Funktion konvergiert. Der Satz
liefert also tatsächlich eine Verbesserung von Korollar 16.8.
Der Wert des Satzes liegt in der folgenden Beobachtung. Sei (Xn,l; l =1,...,kn,
n ∈ N) ein Schema reeller Zufallsvariablen mit CFWs ϕn,l. Genau dann ist das
Schema asymptotisch vernachlässigbar, wenn (16.4) gilt: Gilt P[|Xn,l| >ε]