Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

120 5 Momente und Gesetze der Großen Zahl
Der nächste Satz zeigt, dass die Bedingungen (P1) – (P5) die Zufallsvariablen
(NI, I∈I) eindeutig charakterisieren und zwar als Poissonprozess.
Definition 5.33 (Poissonprozess). Eine Familie (Nt, t≥ 0) von N0–wertigen Zufallsvariablen
heißt Poissonprozess mit Intensität α ≥ 0, falls N0 =0und:
(i) Für jedes n ∈ N und je n +1Zahlen 0=t0 s≥ 0 ist Nt − Ns Poisson-verteilt mit Parameter α(t − s), also
−α(t−s) (α(t − s))k
P[Nt − Ns = k] =e
k!
für jedes k ∈ N0.
Die Existenz eines Poissonprozesses ist an dieser Stelle noch nicht gesichert. Darauf
kommen wir in Satz 5.35 zurück.
Satz 5.34. Erfüllt (NI, I∈I) die Bedingungen (P1) – (P5), so ist (N (0,t], t≥ 0)
ein Poissonprozess mit Intensität α := E[N (0,1]]. Ist umgekehrt (Nt, t≥ 0) ein
Poissonprozess, so erfüllt (Nt − Ns, (s, t] ∈I) die Bedingungen (P1)–(P5).
Beweis. Sei zunächst (Nt, t≥ 0) ein Poissonprozess mit Intensität α ≥ 0. Dann
ist für I =(a, b] offenbar PNI =Poi α(b−a) =Poi αℓ(I). Also gilt (P2). Wegen (i)
gilt (P3). Offenbar ist E[NI] =αℓ(I) < ∞, also gilt (P4). Schließlich ist P[Nε ≥
2] = 1 − e −αε − αεe −αε = f(0) − f(αε), wobei f(x) :=e −x + xe −x . Wir bilden
die Ableitung f ′ (x) =−xe −x . Dann ist offenbar
lim ε
ε↓0 −1 P[Nε ≥ 2] = −αf ′ (0) = 0.
Also gilt auch (P5).
Erfülle nun (NI, I∈I) die Bedingungen (P1) – (P5). Setze α(t) :=E[Nt]. Dann
ist (wegen (P2))
α(s + t) =E � � � � � �
N (0,s] + N (s,s+t] = E N(0,s] + E N(0,t] = α(s)+α(t).
Da t ↦→ α(t) monoton wachsend ist, folgt hieraus sogar α(t) =tα(1) für jedes t ≥
0. Wir setzen α := α(1) und erhalten E[NI] =αℓ(I).Wirmüssen nur noch zeigen,
dass PNt =Poiαt gilt. Um den Satz über die Poissonapproximation (Satz 3.7) zu
verwenden, zerlegen wir für festes n ∈ N, das Intervall (0,t] in 2 n disjunkte gleich
lange Intervalle
I n (k) := � (k − 1)2 −n t, k2 −n t � , k =1,...,2 n ,
und setzen Xn (k) :=NIn (k) sowie
X n �
n 1, falls X (k) ≥ 1,
(k) :=
0, sonst.