Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

17.3 Diskrete Markovprozesse in stetiger Zeit 345
Definition 17.23. Gelten (17.13), (17.14) und (17.15), soheißtq die Q-Matrix von
X. Manchmal wird q auch der Generator der Halbgruppe (pt)t≥0 genannt.
Beispiel 17.24 (Poissonprozess). Der Poissonprozess mit Rate α>0 (vergleiche
Kapitel 5.5) hat die Q-Matrix q(x, y) =α( {y=x+1} − {y=x}). ✸
Satz 17.25. Gilt q(x, y) ≥ 0 für alle x, y ∈ E mit x �= y, gelten (17.13), (17.14),
und ist
λ := sup |q(x, x)| < ∞, (17.16)
x∈E
so ist q die Q-Matrix eines eindeutig bestimmten Markovprozesses X.
Ganz naiv betrachtet legt (17.15) nahe, dass man pt = etq in einem geeigneten Sinne
definiert. Dann wäre rein formal q = d
dtpt �
� . Der folgende Beweis zeigt, dass
t=0
diese formale Argumentation unter den angegebenen Bedingungen rigoros gemacht
werden kann.
Beweis. Sei I die Einheitsmatrix. Definiere
p(x, y) = 1
q(x, y)+I(x, y) für x, y ∈ E.
λ
Dann ist p eine stochastische Matrix und q = λ(p − I). Sei � (Yn)n∈N0 , � P Y � �
x x∈E
eine diskrete Markovkette mit Übergangsmatrix p, und sei � (Tt)t≥0, � P T � �
n n∈N0
ein Poissonprozess mit Rate λ. SeiXt := YTt und Px = P Y x ⊗ P T 0 .Dannist
X := ((Xt)t≥0, (Px)x∈E) ein Markovprozess und
pt(x, y) :=Px [Xt = y] =
= e −λt
∞�
n=0
λ n t n
∞�
P T 0 [Tt = n] P Y x [Yn = y]
n=0
n! pn (x, y).
Diese Potenzreihe (in t) istüberall konvergent (da p als linearer Operator endliche
Norm �p�2 ≤ 1 hat) gegen die Matrix-Exponentialfunktion e λtp (x, y), und es gilt
pt(x, y) =e −λt e λtp (x, y) =e λt(p−I) (x, y) =e tq (x, y).
Durch gliedweise Differentiation der Potenzreihe erhalten wir d
dtpt(x, y) � �
t=0
q(x, y). Damit ist X der gewünschte Markovprozess.
Wir nehmen nun an, dass (�pt)t≥0 die Übergangswahrscheinlichkeiten eines weiteren
Markovprozesses � X sind, mit dem selben Generator q, also mit
lim
s↓0
1�
�ps(x, y) − I(x, y)
s
� = q(x, y).
=