Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

17.1 Begriffsbildung und Konstruktion 335
Beispiel 17.6. Wir können das vorangehende Beispiel leicht auf die Situation stetiger
Zeit, also I =[0, ∞), übertragen. Sei hierzu (νt)t≥0 eine Faltungshalbgruppe
auf R d und κt(x, dy) =δx ∗ νt(dy). Zu jedem x ∈ R d sei Px das in Satz 14.47
konstruierte Maß auf � (R d ) [0,∞) , B(R d ) ⊗[0,∞)� mit
�
Px ◦ (X0,Xt1 ,...,Xtn )−1 n−1
= δx ⊗ κtn+1−tn
i=0
für je endlich viele Punkte 0=t0 0 und ν θ t ({k}) =
e −θt tk θ k
k! , k ∈ N0, die Faltungshalbgruppe der Poisson-Verteilung. Der Markovprozess
X auf N0 mit dieser Halbgruppe heißt Poissonprozess mit Rate θ. ✸
Wir wollen, ähnlich wie in Beispiel 17.6, nun etwas allgemeiner zu einer Markov’schen
Halbgruppe von stochastischen Kernen einen Markovprozess herstellen.
Satz 17.8. Sei I ⊂ [0, ∞) abgeschlossen unter Addition, und sei (κt)t∈I eine Markov’sche
Halbgruppe stochastischer Kerne von E nach E. Dann gibt es einen
Messraum (Ω,A) und einen Markovprozess ((Xt)t∈I, (Px)x∈E) auf (Ω,A) mit
Übergangswahrscheinlichkeiten
Px [Xt ∈ A] =κt(x, A) für alle x ∈ E, A ∈B(E), t∈ I. (17.2)
Umgekehrt definiert für jeden Markovprozess X die Gleichung (17.2) eine Halbgruppe
stochastischer Kerne. Durch (17.2) sind die endlichdimensionalen Verteilungen
von X eindeutig bestimmt.
Beweis. ” =⇒ “ Wir konstruieren X als kanonischen Prozess. Sei Ω = E [0,∞)
und A = B(E) ⊗[0,∞) . Ferner sei Xt die Projektion auf die t-te Koordinate. Für
x ∈ E definieren wir (siehe Korollar 14.43) auf (Ω,A) das W-Maß Px, sodass für
endlich viele Zeitpunkte 0=t0