Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

17.5 Anwendung: Rekurrenz und Transienz von Irrfahrten 353
Da E endlich ist, gibt es ein y ∈ E mit G(x, y) =∞. WegenF (y, x) > 0 existiert
ein k ∈ N mit p k (y, x) > 0, also ist p n+k (x, x) ≥ p n (x, y) p k (y, x) und
G(x, x) ≥
∞�
p n (x, y) p k (y, x) =p k (y, x) G(x, y) =∞. ✷
n=0
Übung 17.4.1. Sei x positiv rekurrent und F (x, y) > 0. Man zeige, dass auch y
positiv rekurrent ist. ♣
17.5 Anwendung: Rekurrenz und Transienz von Irrfahrten
Wir wollen in diesem Abschnitt die Rekurrenz- und Transienzeigenschaften von
Irrfahrten auf ZD , D =1, 2,...untersuchen. Eine ausführlichere Behandlung findet
der Leser im Buch von Spitzer [147].
Wir wollen untersuchen, ob die symmetrische einfache Irrfahrt X auf ZD , die in
jedem Schritt mit gleicher Wahrscheinlichkeit zu einem der 2D nächsten Nachbarn
springt, rekurrent oder transient ist. Sei also E = ZD und
�
1
2D , falls |x − y| =1,
p(x, y) =
0, sonst.
Der zentrale Grenzwertsatz legt nahe zu vermuten, dass
p n (0, 0) ≈ CD n −D/2
für n →∞
für eine Konstante CD, die von der Dimension abhängt. Wir müssen hier jedoch
zunächst einmal den Fall ausschließen, wo n ungerade ist, denn für ungerades n ist
offenbar pn (0, 0) = 0. Seien also Y1,Y2,... unabhängige ZD-wertige Zufallsvariablen
mit P[Yi = x] =p2 D
(0,x).DannistX2n = Sn := Y1 + ...+ Yn für n ∈ N0,
also G(0, 0) = �∞ n=0 P[Sn =0]. Offenbar hat Y1 =(Y1 1 ,...,YD 1 ) die Kovarianzmatrix
Ci,j := E[Y i
1 · Y j 2
1 ]= D {i=j}. Nach dem lokalen zentralen Grenzwertsatz
(siehe etwa [21, Seite 224ff] für eine eindimensionale Version dieses Satzes oder
Übung 17.5.1 für eine analytische Herleitung) gilt
n D/2 p 2n (0, 0) = n D/2 P[Sn =0] n→∞
−→ 2(4π/D) −D/2 . (17.18)
Nun ist genau dann � ∞
n=1 n−α < ∞, wennα>1 ist, also ist G(0, 0) < ∞ genau
dann, wenn D>2 ist. Wir haben damit einen Satz von Pólya gezeigt:
Satz 17.39 (Pólya (1921)). Die symmetrische einfache Irrfahrt auf Z D ist genau
dann rekurrent, wenn D ≤ 2.