Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

13.1 Wiederholung Topologie 235
Definition 13.1. Ein topologischer Raum (E,τ) heißt polnischer Raum, falls er
vollständig metrisierbar und separabel ist.
Polnische Räume sind beispielsweise abzählbare, diskrete Räume (nicht jedoch Q
mit der üblichen Topologie), die euklidischen Räume Rn , aber auch der Raum
C([0, 1]) der stetigen Funktionen [0, 1] → R, ausgestattet mit der Supremumsnorm
� · �∞. Praktisch sind alle Räume, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie bedeutsam
sind, polnische Räume.
Sei (E,d) ein metrischer Raum. Eine Menge A ⊂ E heißt total beschränkt, falls
n�
es zu jedem ε>0 endlich viele Punkte x1,...,xn ∈ A gibt mit A ⊂ Bε(xi).
Kompakte Mengen sind offenbar total beschränkt. In polnischen Räumen gilt sogar:
Lemma 13.2. Sei (E,τ) polnisch mit vollständiger Metrik d. Eine Teilmenge A ⊂
E ist genau dann total beschränkt bezüglich d,wennA relativ kompakt ist.
Beweis. Übung! ✷
Im Folgenden sei stets (E,τ) ein topologischer Raum mit Borel’scher σ-Algebra
E = B(E) :=σ(τ) und vollständiger Metrik d.Für Maße auf (E,E) führen wir die
folgenden Regularitätsbegriffe ein.
Definition 13.3. Ein σ-endliches Maß μ auf (E,E) heißt
(i) lokal endlich oder Borel-Maß, falls es zu jedem Punkt x ∈ E eine offene
Menge U ∋ x gibt mit μ(U) < ∞,
(ii) regulär von innen, falls
μ(A) =sup � μ(K) : K ⊂ A ist kompakt �
(iii) regulär von außen, falls
μ(A) =inf � μ(U) : U ⊃ A ist offen �
(iv) regulär, falls μ von innen und von außen regulär ist,
(v) Radon-Maß, falls μ ein von innen reguläres Borel-Maß ist.
i=1
für jedes A ∈E, (13.1)
für jedes A ∈E, (13.2)
Definition 13.4. Wir führen die folgenden Mengen von Maßen auf E ein.
M(E) := � Radon-Maße auf (E,E) � ,
Mf (E) := � endliche Maße auf (E,E) � ,
M1(E) := � μ ∈Mf (E) :μ(E) =1 � ,
M≤1(E) := � μ ∈Mf (E) :μ(E) ≤ 1 � .