Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

34 1 Grundlagen der Maßtheorie
Beispiel 1.77. (i) Die Identität id : Ω → Ω ist A – A-messbar.
(ii) Ist A =2 Ω oder A ′ = {∅,Ω ′ }, so ist jede Abbildung X : Ω → Ω ′ schon A
– A ′ -messbar.
(iii) Sei A ⊂ Ω. Die Indikatorfunktion A : Ω →{0, 1} ist genau dann A –
2 {0,1} -messbar, wenn A ∈A. ✸
Satz 1.78 (Erzeugte σ-Algebra). Sei (Ω ′ , A ′ ) ein Messraum und Ω eine nichtleere
Menge sowie X : Ω → Ω ′ eine Abbildung. Das Urbild
X −1 (A ′ ):={X −1 (A ′ ): A ′ ∈A ′ } (1.15)
ist die kleinste σ-Algebra, bezüglich der X messbar ist. Wir nennen σ(X) :=
X −1 (A ′ ) die von X erzeugte σ-Algebra auf Ω.
Beweis. Übung! ✷
Wir wollen nun σ-Algebren betrachten, die von mehreren Abbildungen erzeugt werden.
Definition 1.79 (Erzeugte σ-Algebra). Sei Ω eine nichtleere Menge. Sei I eine
beliebige Indexmenge, und für jedes i ∈ I sei (Ωi, Ai) ein Messraum sowie Xi :
Ω → Ωi eine beliebige Abbildung. Dann heißt
� � � �
�
�
σ(Xi, i∈ I) :=σ σ(Xi) = σ
i∈I
i∈I
X −1
i (Ai)
die von (Xi, i∈ I) erzeugte σ-Algebra auf Ω. Dies ist die kleinste σ-Algebra,
bezüglich der jedes Xi messbar ist.
Wie bei stetigen oder linearen Abbildungen gibt es eine Verknüpfungseigenschaft.
Satz 1.80 (Verknüpfung von Abbildungen). Sind (Ω,A), (Ω ′ , A ′ ) und (Ω ′′ , A ′′ )
Messräume sowie X : Ω → Ω ′ messbar und X ′ : Ω ′ → Ω ′′ messbar, so ist die
Abbildung Y := X ′ ◦ X : Ω → Ω ′′ , ω ↦→ X ′ (X(ω)) messbar bezüglich A – A ′′ .
Beweis. Es ist Y −1 (A ′′ )=X −1 ((X ′ ) −1 (A ′′ )) ⊂ X −1 (A ′ ) ⊂A. ✷
Praktisch kann man die Messbarkeit einer Abbildung X kaum prüfen, indem man
sämtliche Urbilder X −1 (A ′ ), A ′ ∈A ′ auf Messbarkeit hin untersucht. Dafür sind
die meisten σ-Algebren A ′ einfach zu groß. Glücklicherweise reicht hier die Betrachtung
eines Erzeugers von A ′ aus: