Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

356 17 Markovketten
hat) die Wahrscheinlichkeit, von der 0 aus startend nach 2n Schritten wieder in 0 zu
sein ungefähr (nπ/D) −1/2 . Bis auf einen Faktor erhielte man so (17.18), ohne dass
man den mehrdimensionalen lokalen zentralen Grenzwertsatz direkt bemüht hätte.
Eine Möglichkeit, die Koordinaten tatsächlich unabhängig zu machen, besteht darin,
die zeitdiskrete Markovkette in einen zeitstetigen Markovprozess auf Z D zu verwandeln,
der die gleiche Greenfunktion hat.
Wir betrachten also D unabhängige Poissonprozesse (T i t )t≥0, i = 1,...,D mit
Rate 1/D und D unabhängige, symmetrische einfache Irrfahrten Z1 ,...,ZD auf
für i = 1,...,D und Yt =
Z. Wir setzen T := T 1 + ... + T D , Y i
t := Zi T i t
(Y 1
t ,...,YD t ).DannistY eine Markovkette in stetiger Zeit mit Q-Matrix q(x, y) =
p(x, y) − {x=y}. DaT ein Poissonprozess mit Rate 1 ist, ist auch (XTt )t≥0 ein
Markovprozess mit Q-Matrix q. Es folgt (XTt )t≥0
D
=(Yt)t≥0. Wir berechnen nun
� ∞
� ∞ ∞�
GY := P0[Yt =0]dt =
0
=
�
P0 X2n =0,Tt =2n
0 n=0
� dt
∞�
p
n=0
2n � ∞
−t t2n
(0, 0) e dt = G(0, 0).
0 (2n)!
Die beiden Prozesse (Xn)n∈N0 und (Yt) t∈[0,∞) haben also die selbe Greenfunktion.
Nun sind aber die Koordinaten von Y tatsächlich unabhängig, also ist
� ∞
GY =
0
P0[Y 1
t =0] D dt.
Wir müssen also nur noch P0[Y 1
t =0]für große t berechnen. Wir können so argu-
mentieren: nach dem Gesetz der großen Zahl ist T 1 t ≈ t/D für große t. Außerdem
gilt P0[Y 1
t ist gerade] ≈ 1
2 . Es gilt also, mit nt = ⌊t/2D⌋ für t →∞(vergleiche
Übung 17.5.2)
P0[Y 1
t =0]∼ 1
2 P�Z 1 2nt =0� = 1
2
� 2nt
nt
�
4 −nt ∼ � 2π/D � −1/2 t −1/2 . (17.21)
Da genau dann � ∞
t 1 −α dt < ∞ gilt, wenn α>1 ist, so gilt auch GY < ∞ genau
dann, wenn D>2 ist. Dies ist aber gerade die Aussage des Satzes von Pólya.
Schließlich stellen wir noch eine dritte Methode vor, um Rekurrenz und Transienz
von Irrfahrten zu untersuchen, die unabhängig von den euklidischen Eigenschaften
des D-dimensionalen Gitters ist und auf der Fourier-Inversionsformel beruht.
Wir betrachten zunächst eine allgemeine (zeitdiskrete) irreduzible Irrfahrt mit Übergangsmatrix
p auf ZD .Mitφ(t) = �
x∈ZD ei〈t,x〉 p(0,x) bezeichnen wir die charakteristische
Funktion eines einzelnen Übergangs. Die Faltung der Übergangswahrscheinlichkeiten
überträgt sich in Potenzen der charakteristischen Funktion, also ist
φ n (t) = �
x∈ZD e i〈t,x〉 p n (0,x).