Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

182 8 Bedingte Erwartungen
Übung 8.3.4. Sei (X, Y ) uniform verteilt auf G := {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1}.
Man bestimme die bedingte Verteilung von Y gegeben X = x. ♣
Übung 8.3.5. Sei A ⊂ R n eine Borel-messbare Menge mit endlichem Lebesgue-
Maß λ(A) ∈ (0, ∞), und sei B ⊂ A messbar mit λ(B) > 0. Zeige: Ist X uniform
verteilt (siehe Beispiel 1.75) auf A, so ist die bedingte Verteilung von X gegeben
{X ∈ B} die uniforme Verteilung auf B. ♣
Übung 8.3.6. (Borel’sches Paradoxon) Wir wollen die Erde als Kugel ansehen und
betrachten einen zufälligen uniform auf der Erdoberfläche verteilten Punkt X. Wir
wollen die Koordinaten von X durch die geografische Länge Θ und Breite Φ angeben.
Allerdings soll, entgegen der üblichen Konvention, Θ die Werte in [0,π)
annehmen und Φ in [−π, π). Damit wird für festes Θ ein kompletter Großkreis beschrieben,
wenn Φ seinen Wertebereich durchläuft. Ist nun Φ gegeben Θ uniform
verteilt auf [−π, π)? Man sollte annehmen, dass jeder Punkt auf dem Großkreis
gleich wahrscheinlich ist. Dies ist jedoch nicht der Fall! Der etwas ” aufgedickte“
Großkreis, mit Längen zwischen Θ und Θ + ε (für kleines ε)istamÄquator dicker
als an den Polen. Lassen wir ε → 0 gehen, so sollten wir, zumindest intuitiv, die
bedingten Wahrscheinlichkeiten erhalten.
(i) Man zeige: P[{Φ ∈ · }|Θ = θ] hat für fast alle θ die Dichte 1
4 | cos(φ)| für
φ ∈ [−π, π).
(ii) Man zeige: P[{Θ ∈ · }|Φ = φ] =U [0,π) für fast alle φ.
Hinweis: Man zeige, dass Θ und Φ unabhängig sind und bestimme die Verteilungen
von Θ und Φ. ♣
Übung 8.3.7 (Verwerfungmethode zur Erzeugung von Zufallsvariablen). Sei
E höchstens abzählbar und P und Q Wahrscheinlichkeitsmaße auf E. Esgebe
ein c > 0 mit f(e) := Q({e})
P ({e}) ≤ c für jedes e ∈ E mit P ({e}) > 0. Seien
X1,X2,... unabhängige Zufallsvariablen mit Verteilung P und U1,U2,... davon
unabhängige u.i.v. Zufallsvariablen, die uniform auf [0, 1] verteilt sind. Wähle N
als die (zufällige) kleinste natürliche Zahl n, sodass Un ≤ f(Xn)/c, und setze
Y := XN .
Man zeige: Y hat die Verteilung Q.
Anmerkung: Dieses Verfahren zur Erzeugung einer Zufallsvariable mit einer gewünschten
Verteilung Q wird auch Verwerfungsmethode (rejection sampling) genannt,
denn man kann es so interpretieren: Die Zufallsvariable X1 ist ein Vorschlag
für den möglichen Wert von Y . Dieser Vorschlag wird mit Wahrscheinlichkeit
f(X1)/c angenommen, ansonsten wird X2 betrachtet und so weiter. ♣
Übung 8.3.8. Sei E ein polnischer Raum und P, Q ∈M1(R), sowiec>0 mit
≤ cP-fast sicher. Zeige die analoge Aussage zu Übung 8.3.7. ♣
f := dQ
dP