Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

14.1 Produkträume 261
Definition 14.6. Sei I �= ∅ eine beliebige Indexmenge, (E,E) ein Messraum,
(Ω,A) =(E I , B(E) ⊗I ) und Xt : Ω → E die Koordinatenabbildung für jedes
t ∈ I. Dann nennen wir die Familie (Xt)t∈I den kanonischen Prozess auf (Ω,A).
Lemma 14.7. Sei ∅ �= J ⊂ I. Dann ist X I J messbar bezüglich AI – AJ.
Beweis. Für jedes j ∈ J ist Xj = XJ j ◦ XI J messbar bezüglich A – Aj. Nach
Korollar 1.82 ist daher XI J messbar. ✷
Satz 14.8. Sei I höchstens abzählbar, und für jedes i ∈ I sei (Ωi, τi) polnisch mit
Borel’scher σ-Algebra Bi = σ(τi). Esseiτdie Produkttopologie auf Ω = × Ωi
i∈I
und B = σ(τ).
Dann ist (Ω, τ) polnisch und B = �
Bi. Speziell ist B(Rd )=B(R) ⊗d für d ∈ N.
i∈I
Beweis. Ohne Einschränkung sei I = N.Für i ∈ N sei di eine vollständige Metrik,
die τi erzeugt. Man prüft leicht nach, dass dann
d(ω, ω ′ ):=
∞�
2 −i
i=1
di(ω(i),ω ′ (i))
1+di(ω(i),ω ′ (i))
(14.2)
eine vollständige Metrik auf Ω ist, die τ erzeugt.
Für jedes i ∈ N sei nun Di ⊂ Ωi eine abzählbare, dichte Teilmenge und yi ∈ Di
ein beliebiger fester Punkt. Die Menge
�
�
D = x ∈× Di : xi �= yi nur endlich oft
i∈N
ist, wie man leicht prüft, eine abzählbare, dichte Teilmenge von Ω.AlsoistΩsepa rabel und damit polnisch.
Sei nun βi = {Bε(xi) : xi ∈ Di, ε∈ Q + } für jedes i ∈ I eine abzählbare Basis
der Topologie von Ωi aus ε-Kugeln. Setze
�
N�
�
β :=
∞�
N=1
i=1
X −1
i (Bi) : B1 ∈ β1,...,BN ∈ βN
Dann ist β eine abzählbare Basis der Topologie τ, also ist jede offene Menge A ⊂ Ω
(abzählbare) Vereinigung von Mengen in β ⊂ �
i∈N Bi. Mithin ist τ ⊂ �
i∈N Bi
und damit B⊂ �
i∈N Bi.
Andererseits ist jedes Xi stetig, also messbar bezüglich B – Bi und damit B ⊃
�
i∈N Bi. ✷
.