Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

7.2 Ungleichungen und Satz von Fischer-Riesz 145
Satz 7.11 (Jensen’sche Ungleichung im R n ). Sei G ⊂ R n konvex, und seien
X1,...,Xn integrierbare reelle Zufallsvariablen mit P[(X1,...,Xn) ∈ G] =1.
Sei ferner ϕ : G → R konvex. Dann ist E[ϕ(X1,...,Xn) − ] < ∞ und
E � ϕ(X1,...,Xn) � ≥ ϕ(E[X1],...,E[Xn]).
Beweis. Wir betrachten zunächst den Fall, wo G offen ist. Die Argumentation läuft
hier ähnlich wie beim Beweis von Satz 7.9.
Sei g ∈ L(ϕ) mit g(E[X1],...,E[Xn]) = ϕ(E[X1],...,E[Xn]). Dag ≤ ϕ linear
ist, folgt
E � ϕ(X1,...,Xn) � ≥ E[g(X1,...,Xn)] = g(E[X1],...,E[Xn]).
Die Integrierbarkeit von ϕ(X1,...,Xn) − folgt völlig analog wie im eindimensionalen
Fall. Sei jetzt der allgemeine Fall betrachtet, das heißt derjenige, wo G nicht
notwendigerweise offen ist. Hier ist das Problem, wenn (E[X1],...,E[Xn]) ∈ ∂G
liegt, etwas kniffliger als im eindimensionalen Fall, weil ∂G flache Stücke haben
kann, die aber selbst notwendigerweise wieder konvex sind. Man kann also nicht
schließen, dass (X1,...,Xn) fast sicher gleich dem Erwartungswert ist. Wir skizzieren
nur das Argument: Zunächst kann man nur folgern, dass (X1,...,Xn) fast
sicher in einem solchen flachen Stück liegt. Dieses ist dann notwendigerweise von
Dimension kleiner als n ist (oder Null, falls das Stück schon ein Punkt ist). Jetzt
muss man ϕ auf das flache Stück einschränken und sich iterativ in der Dimension
herunter arbeiten. Die Details finden sich beispielsweise in [37, Theorem 10.2.6].✷
Beispiel 7.12. Sei X eine reelle Zufallsvariable mit E[X 2 ] < ∞, I = R und
ϕ(x) =x 2 . Aus der Jensen’schen Ungleichung folgt
Var[X] =E[X 2 ] − (E[X]) 2 ≥ 0. ✸
Beispiel 7.13. G =[0, ∞) × [0, ∞), und α ∈ (0, 1), sowieϕ(x, y) =x α y 1−α .
ϕ ist konkav (Übung!), daher gilt für nichtnegative Zufallsvariablen X und Y mit
endlicher Erwartung (nach Satz 7.11)
E � X α Y 1−α� ≤ (E[X]) α (E[Y ]) 1−α . ✸
Beispiel 7.14. Seien G, X und Y wie in Beispiel 7.13. Sei p ∈ (1, ∞). Dannist
ψ(x, y) = � x 1/p + y 1/p�p konkav. Daher gilt (nach Satz 7.11)
�
E[X] 1/p + E[Y ] 1/p� p
��
≥ E X 1/p + Y 1/p� p�
. ✸
Wir kommen nun zu den beiden weiteren wichtigen Ungleichungen, der Hölder’schen
Ungleichung und der Minkowski’schen Ungleichung. Zur Vorbereitung bringen
wir ein Lemma.