Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

530 25 Das Itô-Integral
Die Idee ist nun, die Abbildung I W ∞ von E auf einen geeigneten Abschluss E
von E stetig fortzusetzen. Als Unterraum von welchem Raum sollen wir aber E
abschließen? Eine minimale Forderung ist die Messbarkeit von (ω, t) ↦→ Ht(ω)
(bezüglich F⊗B([0, ∞)) sowie die Adaptiertheit von H.
Definition 25.5. Ein stochastischer Prozess X = (Xt)t≥0 mit Werten in einem
polnischen Raum E heißt
(i) produktmessbar, falls (ω, t) ↦→ Xt(ω) messbar ist bezüglich F⊗B([0, ∞))–
B(E),
(ii) progressiv messbar, falls für jedes t ≥ 0 die Abbildung Ω × [0,t], (ω, s) ↦→
Xs(ω) messbar ist bezüglich Ft ⊗B([0,t])–B(E),
(iii) vorhersagbar (oder previsibel), falls (ω, t) ↦→ Ht(ω) messbar ist bezüglich
der vorhersagbaren σ-Algebra P auf Ω × [0, ∞):
P := σ � X : X ist linksstetiger, adaptierter Prozess � .
Bemerkung 25.6. Jedes H ∈E ist vorhersagbar. Diese Eigenschaft sichert, dass
I M (H) für jedes (auch unstetiges) Martingal M ein Martingal ist. Da wir jedoch
hier nicht die Integrationstheorie für unstetige Martingale entwickeln wollen, ist der
Begriff der Vorhersagbarkeit für uns im Folgenden nicht so wichtig. ✸
Bemerkung 25.7. Ist H progressiv messbar, so ist H offenbar auch produktmessbar
und adaptiert. Mit etwas mehr Aufwand kann man die partielle Umkehrung
zeigen: Ist H adaptiert und produktmessbar, so gibt es eine progressiv messbare
Modifikation von H. (Siehe etwa [113, Seite 68ff].) ✸
Satz 25.8. Ist H adaptiert und f.s. rechtsstetig oder linksstetig, so ist H progressiv
messbar. Insbesondere ist jeder vorhersagbare Prozess progressiv messbar.
Beweis. Siehe Übung 21.1.4. ✷
Wir betrachten E als Unterraum von
�
E0 := H : produktmessbar, adaptiert und �H� 2 �
:= E
� ∞
Sei E der Abschluss von E in E0.
0
H 2 � �
t dt < ∞ .
Satz 25.9. Ist � H progressiv messbar (etwa linksstetig oder rechtsstetig und adap-
� �
∞
tiert) und E
< ∞,soistH ∈ E.
0 H2 t dt
Beweis. Sei H progressiv messbar und E
� � ∞
0 H2 t dt
�
< ∞. Es reicht zu zeigen,
dass für jedes T>0 eine Folge (H n )n∈N in E existiert mit