Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

398 19 Markovketten und elektrische Netzwerke
Satz 19.22 (Thomson’sches oder Dirichlet’sches Prinzip der Leistungsminimierung).
Seien I,J Einheitsflüsse von A1 nach A0 (das heißt I(A1) =J(A1) =1). I
sei zudem ein elektrischer Fluss (erfülle also das Ohm’sche Gesetz mit einer Spannungsfunktion
u, die auf A0 und A1 jeweils konstant ist). Dann gilt
LI ≤ LJ
mit Gleichheit genau dann, wenn I = J ist. Speziell ist der elektrische Einheitsfluss
eindeutig festgelegt.
Beweis. Sei D = J − I �≡ 0 der Differenzfluss. Dann ist offenbar D(A0) =
D(A1) =0. Wir erhalten
�
J(x, y)
x,y∈E
2 R(x, y)
= � � �2R(x, I(x, y)+D(x, y) y)
x,y∈E
= � � 2 2
I(x, y) + D(x, y)
x,y∈E
� R(x, y)+2 �
I(x, y) D(x, y) R(x, y)
x,y∈E
= � � 2 2
I(x, y) + D(x, y) � R(x, y)+2 � � �
u(y) − u(x) D(x, y).
x,y∈E
x,y∈E
Nach dem Energieerhaltungssatz ist der letzte Term
2 � � �
u(y) − u(x) D(x, y) =2D(A1)(u1 − u0) =0.
x,y∈E
Es folgt (wegen D �≡ 0)
LJ = LI + 1
2
�
x,y∈E
D(x, y) 2 R(x, y) >LI. ✷
Beweis (Rayleigh’sches Monotonieprinzip, Satz 19.19) Seien I und I ′ die elektrischen
Einheitsflüsse von A1 nach A0 bezüglich C beziehungsweise C ′ . Nach
dem Thomson’schen Prinzip, dem Energieerhaltungssatz und der Voraussetzung
R(x, y) ≤ R ′ (x, y) für alle x, y ∈ E ist
u(1) − u(0)
Reff(A0 ↔ A1) = = u(1) − u(0)
I(A1)
= 1 �
I(x, y)
2
2 R(x, y)
≤ 1
2
x,y∈E
�
x,y∈E
I ′ (x, y) 2 R(x, y) ≤ 1
2
�
x,y∈E
I ′ (x, y) 2 R ′ (x, y)
= u ′ (1) − u ′ (0) = R ′ eff(A0 ↔ A1). ✷