Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

26 1 Grundlagen der Maßtheorie
Beispiel 1.56 (Lebesgue-Stieltjes-Maß). Sei Ω = R und A = {(a, b] : a, b ∈
R, a ≤ b}. A ist ein Semiring und σ(A) = B(R), woB(R) die Borel’sche σ-
Algebra auf R ist. Ferner sei F : R → R monoton wachsend und rechtsseitig stetig.
Wir definieren eine Mengenfunktion
˜μF : A→[0, ∞), (a, b] ↦→ F (b) − F (a).
Offensichtlich ist ˜μF (∅) =0, und ˜μF ist additiv.
Seien (a, b], (a(1),b(1)], (a(2),b(2)],... ∈Amit (a, b] ⊂ �∞ n=1 (a(n),b(n)]. Sei
ε>0, und sei aε ∈ (a, b) so gewählt, dass F (aε) − F (a) b(k)
so gewählt, dass F (bε(k)) − F (b(k)) 0,
also hat (xn)n∈N keinen Häufungspunkt.
(v) Gilt lim
x→∞ F (x) − F (−x) =1,soistμF ein W-Maß. ✸
� x
Den Fall, wo μF ein W-Maß ist, wollen wir noch weiter untersuchen.