Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

26.2 Schwache Lösungen und Martingalproblem 563
Beweis. Siehe [161], [140, Seite 151ff] oder [78, Seite 163ff]. ✷
Beispiel 26.19. Sei X eine schwache Lösung von (26.17). Dann ist auch −X eine
schwache Lösung, das heißt, es gilt keine pfadweise Eindeutigkeit (obwohl man
zeigen kann, dass die Lösung schwach eindeutig ist, siehe Satz 26.25). ✸
Wir betrachten den eindimensionalen Fall m = n =1.IstX eine Lösung (stark
oder schwach) von (26.15), so ist
Mt := Xt −
� t
0
b(s, Xs) ds
ein stetiges lokales Martingal mit quadratischer Variation
〈M〉t =
� t
0
σ 2 (s, Xs) ds.
Wir werden sehen, dass hierdurch eine schwache Lösung von (26.15) charakterisiert
ist (jedenfalls unter milden Wachstumsbedingungen and σ und b).
Sei für alle t ≥ 0 und x ∈ Rn die n×n Matrix a(t, x) symmetrisch und nichtnegativ
definit, und sei (t, x) ↦→ a(t, x) messbar.
Definition 26.20. Wir sagen, dass ein n-dimensionaler stetiger Prozess X eine
Lösung des lokalen Martingalproblems zu a und b mit Startverteilung μ ∈M1(Rn )
(kurz: LMP(a, b, μ)) ist, falls P ◦ X −1
0 = μ ist und für jedes i =1,...,n
M i t := X i � t
t −
0
bi(s, Xs) ds, t ≥ 0,
ein stetiges lokales Martingal ist mit quadratischer Kovariation
〈M i ,M j � t
〉t =
0
aij(s, Xs) ds für alle t ≥ 0, i,j=1,...,n.
Wir sagen, dass die Lösung von LMP(a, b, μ) eindeutig ist, wenn für je zwei
Lösungen X und X ′ gilt: P ◦ X −1 = P ◦ (X ′ ) −1 .
Mit σ T bezeichnen wir die transponierte Matrix zu σ. Offenbar ist a = σσ T dann
eine nichtnegativ semidefinite symmetrische n × n Matrix.
Satz 26.21. X ist genau dann eine Lösung von LMP(σσ T ,b,μ), wenn es (gegebenenfalls
auf einer Erweiterung des Wahrscheinlichkeitsraums) eine Brown’sche
Bewegung W gibt, sodass (X, W) eine schwache Lösung von (26.15) ist.
Insbesondere existiert genau dann eine eindeutige schwache Lösung der SDGL
(26.15) mit Startverteilung μ, wennLMP(σσ T ,b,μ) eindeutig lösbar ist.