Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

21.10 Quadratische Variation und lokale Martingale 469
Korollar 21.63. Ist F von lokal endlicher quadratischer Variation und gilt 〈G〉 ≡0
(speziell also, falls G von lokal endlicher Variation ist), so ist 〈F, G〉 ≡ 0 und
〈F + G〉 = 〈F 〉.
Satz 21.64. Für die Brown’sche Bewegung W und jede zulässige Zerlegungsfolge
gilt
〈W 〉T = T für alle T ≥ 0 f.s.
Beweis. Wir beweisen dies nur für den Fall, wo
∞�
|P n | < ∞ (21.53)
n=1
gilt. Für den allgemeinen Fall skizzieren wir das Vorgehen.
Gelte also (21.53). Falls 〈W 〉 existiert, ist T ↦→ 〈W 〉T monoton wachsend. Daher
reicht es zeigen, dass 〈W 〉T für jedes T ∈ Q + = Q ∩ [0, ∞) existiert und 〈W 〉T =
T fast sicher gilt. Da ( � Wt)t≥0 = � T −1/2 �
WtT eine Brown’sche Bewegung ist
t≥0
und 〈 � W 〉1 = T −1 〈W 〉T gilt, reicht es, den Fall T =1zu betrachten.
Setze
Yn := �
t∈Pn 2
(Wt ′ − Wt) für alle n ∈ N.
1
Dann ist E[Yn] = �
t∈Pn (t
1
′ − t) =1 und
Var[Yn] = �
Var � (Wt ′ − Wt) 2� = �
(t ′ − t) 2 ≤ 2 |P n |.
t∈P n 1
t∈P n 1
Nach Voraussetzung (21.53) gilt also �∞ n=1 Var[Yn] ≤ 2 �∞ n=1 |Pn | < ∞, also
n→∞
gilt Yn −→ 1 fast sicher.
Verzichten wir auf die Bedingung (21.53), so gilt immer noch Var[Yn] n→∞
−→ 0,
also Vn
n→∞
−→ 1 stochastisch. Es ist allerdings nicht zu schwer zu zeigen, dass
(Yn)n∈N ein Rückwärtsmartingal ist (siehe etwa [132, Theorem I.28]) und daher
fast sicher gegen 1 konvergiert. ✷
Korollar 21.65. Sind W und � W unabhängige Brown’sche Bewegungen, so gilt
〈W, � W 〉T =0.
Beweis. Die stetigen Prozesse ((W + � W )/ √ 2) und (W − � W )/ √ 2) haben unabhängige,
normalverteilte Zuwächse, sind also Brown’sche Bewegungen. Nach
Bemerkung 21.61(i) gilt
4 � W, � W �
T = � W + � W �
T − � W − � W �
T
2 � (W + � W )/ √ 2 �
T − 2� (W − � W )/ √ 2 �
=2T − 2T =0. ✷
T