Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

336 17 Markovketten
also Px[Xtn ∈ An |Ftn−1 ]=κtn−tn−1 (Xtn−1 ,An). Damit ist X als Markovprozess
erkannt. Ferner ist Px[Xt ∈ A] =(δx · κt)(A) =κt(x, A).
” ⇐= “ Sei nun (X, (Px)x∈E) ein Markovprozess. Dann definiert
κt(x, A) :=Px [Xt ∈ A] für alle x ∈ E, A ∈B(E), t∈ I,
einen stochastischen Kern κt. Nach der Markoveigenschaft ist
κt+s(x, A) =Px [Xt+s ∈ A] = Ex [PXs [Xt ∈ A]]
�
=
Px [Xs ∈ dy] Py [Xt ∈ A]
�
= κs(x, dy)κt(y, A) = (κs · κt)(x, A).
Also ist (κt) t∈I eine Markov’sche Halbgruppe. ✷
Satz 17.9. Ein stochastischer Prozess X =(Xt)t∈I ist genau dann ein Markovprozess,
wenn es einen stochastischen Kern κ : E ×B(E) ⊗I → [0, 1] gibt, sodass für
jede B(E) ⊗I −B(R) messbare, beschränkte Funktion f : EI → R und für jedes
s ≥ 0 und x ∈ E gilt:
�
Ex f ((Xt+s)t∈I) � �
�Fs = EXs [f(X)] :=
�
E I
κ(Xs, dy) f(y). (17.3)
Beweis. ” ⇐= “ Die schwache Markoveigenschaft folgt aus (17.3) mit der Funktion
f(y) = A(y(t)), dennPXs [Xt ∈ A] =Px[Xt+s ∈ A|Fs] =κt(Xs,A).
” =⇒ “ Nach den üblichen Approximationsargumenten reicht es, Funktionen f
zu betrachten, die nur von endlich vielen Koordinaten 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ ... ≤ tn
abhängen. Wir führen den Beweis per Induktion über n.
Für n =1und f eine Indikatorfunktion ist dies die (schwache) Markoveigenschaft.
Für allgemeines, messbares f folgt die Aussage nun aus den üblichen Approximationsargumenten.
Sei nun die Aussage für n ∈ N bereits gezeigt. Es reicht wiederum, für f eine Indikatorfunktion
der Art f(x) = B1×···×Bn+1 (xt1 ,...,xtn+1 ) (mit B1,...,Bn+1 ∈
B(E)) zu betrachten. Zusammen mit der Markoveigenschaft (dritte und fünfte
Gleichheit in der folgenden Gleichungskette) und der Induktionsvoraussetzung
(vierte Gleichheit) erhalten wir