Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

366 18 Konvergenz von Markovketten
matrix p(x, y) = {y=x+1(mod N)} betrachten. Der Eigenwert 1 hat die Vielfachheit
1. Jedoch sind alle N-ten Einheitswurzeln eik/N , k =0,...,N − 1, ebenfalls Eigenwerte
mit Betrag 1. Offenbar ist die Gleichverteilung auf E invariant, jedoch
existiert lim
n→∞ δxpn für kein x ∈ E, denn jeder Punkt wird periodisch immer nur
nach jeweils genau N Schritten besucht. Um Konvergenz zu erzielen, müssen wir
also zunächst Periodizität untersuchen (und ausschließen). Hernach können wir für
irreduzible aperiodische Markovketten einen Konvergenzsatz angeben.
Sind m, n ∈ N, so schreiben wir m � �n, falls m ein Teiler von n ist, also falls n
m ∈ N.
Ist M ⊂ N, so schreiben wir ggT(M) für den größten gemeinsamen Teiler aller
n ∈ M. Sei im Folgenden stets X eine Markovkette auf dem abzählbaren Raum E
mit Übergangsmatrix p.
Definition 18.1. (i) Für x, y ∈ E schreiben wir
N(x, y) := � n ∈ N0 : p n (x, y) > 0 � .
Für jedes x ∈ E heißt dx := ggT(N(x, x)) die Periode des Punktes x.
(ii) Ist dx = dy für alle x, y ∈ E,soheißtd := dx die Periode von X.
(iii) Ist dx =1 für jedes x ∈ E, so heißt X aperiodisch.
1
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Abb. 18.1. Die linke Markovkette ist periodisch mit Periode 2, die rechte Markovkette ist
aperiodisch.
1/2
1/2
Lemma 18.2. Für jedes x ∈ E existiert ein nx ∈ N mit
1/2
1/2
1/2
1/2
p ndx (x, x) > 0 für jedes n ≥ nx. (18.1)
Beweis. Seien k1,...,kr ∈ N(x, x) mit ggT({k1,...,kr}) =dx.Dannistfür alle
m1,...,mr ∈ N0 auch �r i=1 ki mi ∈ N(x, x). Elementare Zahlentheorie liefert
uns nun, dass für jedes n ≥ nx := r · �r i=1 (ki/dx) Zahlen m1,...,mr ∈ N0
existieren mit ndx = �r i=1 ki mi. Also gilt (18.1). ✷