Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

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458 21 Die Brown’sche Bewegung Wir berechnen nun für N>0 und s, t ∈ [0,N] die vierten Momente der Differenzen ¯ T Kn,n t+s − ¯ T Kn,n s des Hauptteils. Im Folgenden setzen wir Kn = n1/4 . Sei nun n ∈ N fest gewählt. Wir unterscheiden zwei Fälle. Fall 1: t
E � ( ¯ T Kn,n t+s − ¯ T Kn,n s ) 4� ≤ n −2 σ −4 E � (T Kn Kn ⌈(t+s)n⌉ − T⌊sn⌋ )4� = n −2 σ −4 E � (T Kn ⌈(t+s)n⌉−⌊sn⌋ )4� ≤ 3tnK2 n n 2 σ 2 +3t2 = 3 ≤ 3 σ 2 t3/2 +3t 2 ≤ 21.8 Satz von Donsker 459 σ 2 tn−1/2 +3t 2 � 3 σ2 +3√ � N t 3/2 . (21.36) Nach (21.34) und (21.36) gibt es also zu jedem N > 0 eine Konstante C = C(N,σ 2 ), sodass für jedes n ∈ N und alle s, t ∈ [0,N] gilt E � ( ¯ T Kn,n t+s − ¯ T Kn,n s ) 4� ≤ Ct 3/2 . Nach dem Kolmogorov’schen Momentenkriterium (Satz 21.42 mit α =4und β = 1/2) ist also (L[ ¯ T Kn,n ],n∈ N) straff in M1(C([0, ∞))). ✷ Übung 21.8.1. Seien X1,X2,... u.i.v. Zufallsvariablen mit stetiger Verteilungsfunktion F .EsseiGn :[0, 1] → [−1, 1], t ↦→ n−1/2 �n � i=1 [0,t](F (Xi)) − t � und Mn := �Gn�∞. Ferner sei M =supt∈[0,1] |Bt|,woB eine Brown’sche Brücke ist. (i) Man zeige E[Gn(t)] = 0 und Cov[Gn(s),Gn(t)] = s∧t−st für s, t ∈ [0, 1]. (ii) Man zeige E[(Gn(t) − Gn(s)) 4 ] ≤ C � (t − s) 2 + |t − s|/n � für ein C>0. (iii) Man folgere, dass eine geeignete stetige Version von Gn schwach gegen B konvergiert. Beispielsweise kann Hn(t) =n−1/2 �n � i=1 hn(F (Xi) − t) − t � genommen werden, wo hn(s) =1− (s/εn ∨ 0) ∧ 1 für eine geeignete Folge εn ↓ 0. n→∞ (iv) Man zeige schließlich Mn =⇒ M. Bemerkung: Die Verteilung von M lässt sich durch die Formel von Kolmogorov- Smirnov ([97] und [146]) ausdrücken (siehe etwa [125]): ∞� P[M >x]=2 (−1) n−1 e −2n2x 2 . (21.37) n=1 Vergleiche hierzu auch (21.20). Mit Hilfe der Statistik Mn können Zufallsvariablen bei bekannter Verteilung auf Unabhängigkeit getestet werden. Seien X1,X2,... und ˜ X1, ˜ X2,... unabhängige Zufallsvariablen mit unbekannten, stetigen Verteilungsfunktionen F und ˜ F und empirischen Verteilungsfunktionen Fn und ˜ F . Ferner sei Dn := sup |Fn(t) − t∈R ˜ Fn(t)|. Unter der Annahme, dass F = ˜ F gilt, konvergiert � n/2 Dn in Verteilung gegen M. Diese Tatsache ist Grundlage von nichtparametrischen Tests auf Verteilungsgleichheit. ♣
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Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie
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Prof. Dr. Achim Klenke Institut fü
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VI Vorwort In den ersten acht Kapit
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VIII Inhaltsverzeichnis 5.3 Starkes
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X Inhaltsverzeichnis 17.1 Begriffsb
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XII Inhaltsverzeichnis Literatur...
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2 1 Grundlagen der Maßtheorie Defi
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4 1 Grundlagen der Maßtheorie Defi
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6 1 Grundlagen der Maßtheorie Satz
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8 1 Grundlagen der Maßtheorie Nach
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10 1 Grundlagen der Maßtheorie Bew
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12 1 Grundlagen der Maßtheorie (v)
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16 1 Grundlagen der Maßtheorie Sat
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18 1 Grundlagen der Maßtheorie Bei
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20 1 Grundlagen der Maßtheorie (ii
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22 1 Grundlagen der Maßtheorie U(A
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28 1 Grundlagen der Maßtheorie Mes
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32 1 Grundlagen der Maßtheorie Def
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36 1 Grundlagen der Maßtheorie Wir
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38 1 Grundlagen der Maßtheorie Ana
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40 1 Grundlagen der Maßtheorie (ii
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42 1 Grundlagen der Maßtheorie (i)
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44 1 Grundlagen der Maßtheorie so
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48 2 Unabhängigkeit Wir prüfen je
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50 2 Unabhängigkeit � � P j∈
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52 2 Unabhängigkeit (ii) Offensich
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54 2 Unabhängigkeit (iii) ” =⇒
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56 2 Unabhängigkeit Xn : Ω → E,
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58 2 Unabhängigkeit FY (x) =P �
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60 2 Unabhängigkeit Beweis. Für j
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62 2 Unabhängigkeit Beweis. ”
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64 2 Unabhängigkeit Beweis. Sei X
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66 2 Unabhängigkeit � � �
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68 2 Unabhängigkeit Aufgrund der M
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70 2 Unabhängigkeit 1 0 −1 �
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72 2 Unabhängigkeit 2. Schritt Wir
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74 2 Unabhängigkeit von Kanten k
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76 3 Erzeugendenfunktion (ii) Die V
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78 3 Erzeugendenfunktion � � α
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80 3 Erzeugendenfunktion also ψSn(
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82 3 Erzeugendenfunktion Satz 3.11
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84 4 Das Integral m� m� n� α
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86 4 Das Integral fn ↑ f und gn
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88 4 Das Integral Zu (a): Es ist (f
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90 4 Das Integral Satz 4.17. Die Ab
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92 4 Das Integral Beispiel 4.22 (Pe
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94 4 Das Integral Satz 4.23 (Rieman
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96 4 Das Integral Hieraus folgt (4.
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98 5 Momente und Gesetze der Große
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100 5 Momente und Gesetze der Groß
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6 Konvergenzsätze Im starken und s
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6.1 Fast-überall- und stochastisch
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6.1 Fast-überall- und stochastisch
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6.2 Gleichgradige Integrierbarkeit
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Beweis. ” (i) =⇒ (ii)“ Dies i
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6.3 Vertauschung von Integral und A
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7 L p -Räume und Satz von Radon-Ni
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7.2 Ungleichungen und Satz von Fisc
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7.3 Hilberträume 147 wobei wir im
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7.3 Hilberträume 149 Da V vollstä
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7.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz
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7.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz
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7.5 Ergänzung: Signierte Maße 155
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V ′ := {F : V → R ist stetig un
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7.6 Ergänzung: Dualräume 163 Beme
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166 8 Bedingte Erwartungen Durch da
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168 8 Bedingte Erwartungen Offenbar
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170 8 Bedingte Erwartungen Satz 8.1
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172 8 Bedingte Erwartungen Korollar
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174 8 Bedingte Erwartungen Tat: Sei
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176 8 Bedingte Erwartungen Bemerkun
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178 8 Bedingte Erwartungen Beispiel
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180 8 Bedingte Erwartungen Ein sepa
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182 8 Bedingte Erwartungen Übung 8
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184 9 Martingale E = Z (mit der dis
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186 9 Martingale F = σ(D). Wir int
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188 9 Martingale Definition 9.22. I
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190 9 Martingale Beispiel 9.31. Wir
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192 9 Martingale Übung 9.2.4 (Ungl
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194 9 Martingale vorhersagbar und l
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196 9 Martingale Wir wollen nun X a
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10 Optional Sampling Sätze Wir hab
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10.1 Doob-Zerlegung und quadratisch
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10.2 Optional Sampling und Optional
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10.2 Optional Sampling und Optional
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11 Martingalkonvergenzsätze und An
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E � (|X| ∗ n ∧ K) p� ≤ 11
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und C = � a,b∈Q a
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11.2 Martingalkonvergenzsätze 215
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11.2 Martingalkonvergenzsätze 217
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11.3 Beispiel: Verzweigungsprozess
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12 Rückwärtsmartingale und Austau
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12.1 Austauschbare Familien von Zuf
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12.1 Austauschbare Familien von Zuf
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1 n n� i=1 Xi In der Tat: Setzen
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12.3 Satz von de Finetti 229 Defini
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12.3 Satz von de Finetti 231 das he
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13 Konvergenz von Maßen In der Wah
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13.1 Wiederholung Topologie 235 Def
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13.1 Wiederholung Topologie 237 Da
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13.1 Wiederholung Topologie 239 Üb
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13.2 Schwache und vage Konvergenz 2
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13.3 Der Satz von Prohorov 249 Satz
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13.3 Der Satz von Prohorov 251 besi
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13.3 Der Satz von Prohorov 253 �
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13.3 Der Satz von Prohorov 255 1. S
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13.4 Anwendung: Satz von de Finetti
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14 W-Maße auf Produkträumen Als M
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14.1 Produkträume 261 Definition 1
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14.2 Endliche Produkte und Übergan
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14.3 Satz von Ionescu-Tulcea und Pr
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14.3 Satz von Ionescu-Tulcea und Pr
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14.4 Markov’sche Halbgruppen 277
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14.4 Markov’sche Halbgruppen 279
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15 Charakteristische Funktion und Z
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15.1 Trennende Funktionenklassen 28
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15.2 Charakteristische Funktionen:
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15.2 Charakteristische Funktionen:
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ϕμ(t) = 15.2 Charakteristische Fu
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15.3 Der Lévy’sche Stetigkeitssa
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15.3 Der Lévy’sche Stetigkeitssa
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15.4 Charakteristische Funktion und
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� � � �ϕ(t + h) − � n
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15.4 Charakteristische Funktion und
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15.5 Der Zentrale Grenzwertsatz 305
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Beweis. Für jedes n ∈ N ist νn
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15.6 Mehrdimensionaler Zentraler Gr
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316 16 Unbegrenzt teilbare Verteilu
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17 Markovketten Markovprozesse mit
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17.1 Begriffsbildung und Konstrukti
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Ex 17.1 Begriffsbildung und Konstru
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17.1 Begriffsbildung und Konstrukti
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17.2 Diskrete Markovketten, Beispie
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17.2 Diskrete Markovketten, Beispie
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17.3 Diskrete Markovprozesse in ste
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Schreiben wir 17.3 Diskrete Markovp
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17.4 Diskrete Markovketten, Rekurre
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1 17.4 Diskrete Markovketten, Rekur
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17.5 Anwendung: Rekurrenz und Trans
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17.6 Invariante Verteilungen 361 Sa
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17.6 Invariante Verteilungen 363 Sa
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18 Konvergenz von Markovketten Wir
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3 1/2 1/2 2 1 1 18.1 Periodizität
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18.2 Kopplung und Konvergenzsatz 36
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Seite 383 und 384:
18.3 Markovketten Monte Carlo Metho
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1 0.8 0.6 0.4 0.2 Magnetisierung 18
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18.3 Markovketten Monte Carlo Metho
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18.4 Konvergenzgeschwindigkeit 383
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18.4 Konvergenzgeschwindigkeit 385
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Dabei ist die Varianz des einzelnen
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19 Markovketten und elektrische Net
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19.1 Harmonische Funktionen 391 Die
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19.3 Elektrische Netzwerke 393 Defi
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19.3 Elektrische Netzwerke 395 und
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x =0 0 u(0)=0 R R R R R R 1 2 3 4 5
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19.4 Rekurrenz und Transienz 19.4 R
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19.4 Rekurrenz und Transienz 401 Be
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19.4 Rekurrenz und Transienz 403 -
Seite 411 und 412:
Also ist R ′ eff(0 ↔∞)= 1 3
Seite 413 und 414: Schritt 1. Die Schleife am rechten
Seite 415 und 416: Alternative Lösung 19.5 Netzwerkre
Seite 417 und 418: Übung 19.5.3. Man betrachte den Gr
Seite 419 und 420: 19.6 Irrfahrt in zufälliger Umgebu
Seite 421 und 422: 20 Ergodentheorie Gesetze der groß
Seite 423 und 424: 20.1 Begriffsbildung 417 Beispiel 2
Seite 425 und 426: 20.2 Ergodensätze 419 Daher ist X0
Seite 427 und 428: Beweis. Setze Yn := � � � n
Seite 429 und 430: 20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfa
Seite 431 und 432: 20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfa
Seite 433 und 434: 1 lim n→∞ n 20.5 Mischung 427 n
Seite 435 und 436: 21 Die Brown’sche Bewegung In Bei
Seite 437 und 438: 21.1 Stetige Modifikationen 431 Fü
Seite 439 und 440: 21.1 Stetige Modifikationen 433 s
Seite 441 und 442: 21.1 Stetige Modifikationen 435 Üb
Seite 443 und 444: 21.2 Konstruktion und Pfadeigenscha
Seite 445 und 446: 21.2 Konstruktion und Pfadeigenscha
Seite 447 und 448: 21.3 Starke Markoveigenschaft 441
Seite 449 und 450: 21.3 Starke Markoveigenschaft 443 B
Seite 451 und 452: 21.4 Ergänzung: Feller Prozesse 44
Seite 453 und 454: 21.5 Konstruktion durch L 2 -Approx
Seite 455 und 456: X n := 21.5 Konstruktion durch L 2
Seite 457 und 458: 21.6 Der Raum C([0, ∞)) 451 Übun
Seite 459 und 460: 21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C(
Seite 461 und 462: 21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C(
Seite 463: 21.8 Satz von Donsker 457 Satz 21.4
Seite 467 und 468: und induktiv 21.9 Pfadweise Konverg
Seite 469 und 470: 21.9 Pfadweise Konvergenz von Verzw
Seite 471 und 472: 21.10 Quadratische Variation und lo
Seite 483 und 484: 22 Gesetz vom iterierten Logarithmu
Seite 485 und 486: 22.1 Iterierter Logarithmus für di
Seite 487 und 488: 22.2 Skorohod’scher Einbettungssa
Seite 489 und 490: Für n ∈ N und σ ∈{−, +} n s
Seite 491 und 492: 22.2 Skorohod’scher Einbettungssa
Seite 493 und 494: M ′ n := sup |Bs − Btn−1 s∈
Seite 495 und 496: 490 23 Große Abweichungen 23.1 Sat
Seite 497 und 498: 492 23 Große Abweichungen Beweis.
Seite 499 und 500: 494 23 Große Abweichungen Λ ∗ (
Seite 501 und 502: 496 23 Große Abweichungen Beweis.
Seite 503 und 504: 498 23 Große Abweichungen Übung 2
Seite 505 und 506: 500 23 Große Abweichungen Seien nu
Seite 507 und 508: 502 23 Große Abweichungen Analog i
Seite 509 und 510: 504 23 Große Abweichungen Untere S
Seite 511 und 512: 506 23 Große Abweichungen 0.01 0.0
Seite 513 und 514: 508 23 Große Abweichungen Im Fall
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510 24 Der Poisson’sche Punktproz
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Seite 527 und 528:
Seite 529 und 530:
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25 Das Itô-Integral Das Itô-Integ
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25.1 Das Itô-Integral bezüglich d
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Seite 537 und 538:
Seite 539 und 540:
25.2 Itô-Integral bezüglich Diffu
Seite 541 und 542:
25.2 Itô-Integral bezüglich Diffu
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25.3 Die Itô-Formel 539 F (x) =x 2
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25.3 Die Itô-Formel 541 Da ε>0 be
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ft := lim n→∞ n� � 〈M〉t
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25.3 Die Itô-Formel 545 Korollar 2
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25.4 Dirichlet-Problem und Brown’
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25.5 Rekurrenz und Transienz der Br
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26 Stochastische Differentialgleich
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26.1 Starke Lösungen 553 Die Exist
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Die linke Seite in (26.6) ist aber
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und � t Jt := 0 � N b(s, Xs )
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1.5 1 0.5 0 26.1 Starke Lösungen 5
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26.2 Schwache Lösungen und Marting
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26.2 Schwache Lösungen und Marting
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Im Folgenden gelte stets: 26.2 Schw
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26.3 Eindeutigkeit schwacher Lösun
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3 2 1 0 26.3 Eindeutigkeit schwache
Seite 577 und 578:
Seite 579 und 580:
Literatur 1. M. Aizenman, H. Kesten
Seite 581 und 582:
Literatur 577 37. R. M. Dudley. Rea
Seite 583 und 584:
Literatur 579 80. Jürgen Jost. Par
Seite 585 und 586:
Literatur 581 123. Jim Pitman und M
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Notation A Indikatorfunktion der Me
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μ ⊥ ν μist singulär bezüglic
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Glossar englischer Ausdrücke a.a.
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Namensregister Banach, Stefan, 1892
Seite 595 und 596:
Prohorov, Yurij Vasil’evich (Proh
Seite 597 und 598:
594 Sachregister Cesàro-Limes 62 C
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596 Sachregister -Itô-Formel - - m
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598 Sachregister Moran-Modell 343 d
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Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

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