Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

532 25 Das Itô-Integral
Satz 25.11. (i) Die Abbildung IW ∞ : E→L2 (Ω,F, P) ist linear und
E � I W ∞ (H) 2� � � ∞
= E H 2 �
s ds .
(ii) Für jedes H ∈ E wird durch ĨW t (H) :=I W (H (t) ) ein L 2 -beschränktes
F-Martingal ĨW (H) definiert, das eine stetige Modifikation I W (H) besitzt.
Definition 25.12 (Itô-Integral als Prozess). Sei IW (H) die stetige Modifikation
des Martingals (IW (H (t) ))t≥0 aus Satz 25.11(ii). Wir bezeichnen mit
� t
Hr dWs := I
s
W t (H) − I W s (H) für 0 ≤ s ≤ t ≤∞
das Itô-Integral von s bis t von H bezüglich der Brown’schen Bewegung W .
Beweis (von Satz 25.11). (i) Dies folgt direkt aus der Definition von I W ∞ (H).
(ii) Sei (H n )n∈N eine Folge in E mit �H n − H� n→∞
I W � n (t)
∞ (H ) � = I W t (H n )=E � I W ∞ (H) � �
�Ft 0
−→ 0. Nach Satz 25.4(ii) ist
für alle t ≥ 0, n∈ N.
Wegen � � n (t) (t) (H ) − H � � �
� ≤ �Hn − H� n→∞
−→ 0 folgt (zusammen mit Korollar
8.20)
Ĩ W t (H) = lim
n→∞ IW t (H n ) = lim
n→∞ E�I W ∞ (H n ) � � �
�Ft
W
= E I∞ (H) � �
�Ft .
Mithin ist ĨW (H) ein L 2 -beschränktes Martingal und I W t (H n ) n→∞
−→ ĨW t (H) in
L 2 für jedes t ≥ 0. Nach Satz 25.4(ii) ist I W (H n ) stetig für jedes n ∈ N, und
nach Übung 21.4.3 existiert eine stetige Modifikation I W (H) von ĨW (H). ✷
Als letzten Schritt bei der Konstruktion des Itô-Integrals wollen wir uns von der
strengen Integrierbarkeitsbedingung E � � ∞
0 H2 s ds � < ∞ lösen. Hierzu machen
wir zunächst die folgende einfache Feststellung.
Lemma 25.13. Sei τ eine Stoppzeit und H, G ∈ E mit Hs = Gs für jedes s ≤ τ.
Dann gilt für die Itô-Integrale
� τ
� ∞
0
Hs dWs :=
0
H (τ)
� ∞
s dWs =
0
G (τ)
� τ
s dWs =:
0
Gs dWs f.s.
Speziell gilt für jedes t ≥ 0 auf {τ ≥ t}
� τ∧t
0
Hs dWs =
� t
Hs dWs.
0