Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

444 21 Die Brown’sche Bewegung
21.4 Ergänzung: Feller Prozesse
In vielen Situationen kann man keine stetige Version eines Prozesses erwarten, etwa
beim Poissonprozess, der ja gewissermaßen von seinen Sprüngen lebt. Oft kann
jedoch eine Version mit rechtsstetigen Pfaden, die einen endlichen linksseitigen
Grenzwert besitzen, etabliert werden. Wir wollen hier knapp den Existenzsatz für
solche Prozesse für Feller’sche Halbgruppen plausibel machen.
Definition 21.21. Sei E ein polnischer Raum. Eine Abbildung f :[0, ∞) → E heißt
RCLL (right continuous with left limits) oder càdlàg (continue à droit, limites à
gauche), falls f(t) =f(t+) := lims↓t f(s) für jedes t ≥ 0 und falls der linksseitige
Grenzwert f(t−) := lims↑t f(s) für jedes t>0 existiert und endlich ist.
Bemerkung 21.22. Ist F eine beliebige Filtration und F +,∗
t die Vervollständigung
von F + t ,soerfüllt F +,∗ die üblichen Bedingungen. ✸
Definition 21.23. Eine Filtration F =(Ft)t≥0heißt rechtsstetig, falls F = F + ,
wo F + t = �
s>t Fs. Wir sagen, dass eine Filtration F die üblichen Bedingungen
erfüllt, falls F rechtsstetig ist und F0 jede P-Nullmenge enthält.
Satz 21.24 (Doob’sche Regularisierung). Sei F eine Filtration, die die üblichen
Bedingungen erfüllt, und X =(Xt)t≥0 ein F-Supermartingal mit der Eigenschaft,
dass t ↦→ E[Xt] rechtsstetig ist. Dann gibt es eine Modifikation � X von X mit RCLL
Pfaden.
Beweis. Für a, b ∈ Q + , a < b und I ⊂ [0, ∞) sei U a,b
I die Anzahl der Aufkreuzungen
von (Xt)t∈I über [a, b]. Nach der Aufkreuzungsungleichung (Lemma
11.3) folgt für jedes N > 0 und jede endliche Menge I ⊂ [0,N], dass
E[U a,b
I ] ≤ (E[|XN |] +|a|)/(b − a). Setzen wir U a,b a,b
N = UQ + ∩[0,N] , so folgt
E[U a,b
N ] ≤ (E[|XN |]+|a|)/(b − a). Für λ>0 ist nach Übung 11.1.1
λ P � sup{|Xt| : t ∈ Q + ∩ [0,N]} >λ �
�
= λ sup P � sup{|Xt| : t ∈ I} >λ � : I ⊂ Q + �
∩ [0,N] endlich
≤ 12 E[|X0|]+9E[|XN |].
Betrachte das Ereignis
A := � � �
N∈N
a,b∈Q +
0≤a