Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

14 1 Grundlagen der Maßtheorie
Beweis. (i) Es ist A∪B = A⊎(B \A) und B =(A∩B)⊎(B \A).Daμ additiv
ist, folgt
μ(A ∪ B) =μ(A)+μ(B \ A) und μ(B) =μ(A ∩ B)+μ(B \ A).
Hieraus folgt sofort (i).
(ii) Sei A ⊂ B. WegenA ∩ B = A folgt μ(B) =μ(A ⊎ (B \ A)) = μ(A) +
μ(B \ A), falls B \ A ∈Aist, insbesondere also, falls A ein Ring ist. Ist nun A nur
ein Semiring, so ist B \ A = � n
i=1 Ci für gewisses n ∈ N und paarweise disjunkte
Mengen C1,...,Cn ∈A. In diesem Fall ist μ(B) =μ(A)+ � n
i=1 μ(Ci) ≥ μ(A),
also ist μ monoton.
(iii) Seien n ∈ N und A, A1,...,An ∈Amit A ⊂ � n
i=1 Ai. Setze B1 = A1 und
�
k−1
Bk = Ak \ Ai =
i=1
k−1 �
(Ak \ (Ak ∩ Ai)) für k =2,...,n.
i=1
Per Definition des Semirings ist jedes Ak \(Ak ∩Ai) disjunkte Vereinigung endlich
vieler Mengen in A, also existiert ein ck ∈ N und Mengen Ck,1,...,Ck,ck ∈Amit
� ck
i=1 Ck,i = Bk ⊂ Ak. Analog existieren dk ∈ N und Dk,1,...,Dk,dk ∈Amit
Ak \ Bk = � dk
i=1 Dk,i.Daμ additiv ist, gilt
μ(Ak) =
ck�
i=1
μ(Ck,i)+
dk�
i=1
μ(Dk,i) ≥
ck�
i=1
μ(Ck,i).
Wiederum aufgrund von Additivität und Monotonie gilt
�
n� ck�
�
n� ck�
μ(A) =μ (Ck,i ∩ A) = μ(Ck,i ∩ A)
≤
n�
k=1 i=1
ck�
k=1 i=1
μ(Ck,i) ≤
n�
μ(Ak).
k=1
k=1 i=1
Also ist μ subadditiv. Die σ-Subadditivität folgt aus der σ-Additivität in analoger
Weise.
(iv) Sei A ein Ring und A = ∞�
An ∈A.Daμadditiv (und damit monoton) ist,
gilt nach (ii)
n=1
m�
�
m�
μ(An) =μ
�
≤ μ(A) für jedes m ∈ N.
Also ist
n=1
n=1
An
∞�
μ(An) ≤ μ(A). ✷
n=1