Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

18.2 Kopplung und Konvergenzsatz 369
p(x0,y) > 0 nun y ∈ E1 und y ∈ � E1, also y ∈ E1 ∩ � E1. Iterativ erhalten wir, dass
pnd+i (x, y) > 0 impliziert, dass y ∈ Ei ∩ � Ei (für n ∈ N und i =0,...,d− 1).
Da die Kette irreduzibel ist, existieren aber für jedes y ∈ E Zahlen n(y) und i(y),
sodass pn(y) d+i(y) (x0,y) > 0, also y ∈ Ei(y) ∩ � Ei(y). Mithin gilt Ei = � Ei für jedes
i =0,...,d− 1. ✷
18.2 Kopplung und Konvergenzsatz
Es ist oftmals nützlich, einen gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum für zwei Verteilungen
anzugeben, sodass die jeweiligen Verteilungen sich als die Randverteilungen
ergeben. Wir stellen zunächst das Prinzip der Kopplung abstrakt vor und geben
dann Beispiele an. Schließlich wenden wir die Begriffe auf Markovketten an.
Definition 18.5. Sind (E1, E1,μ1) und (E2, E2,μ2) Wahrscheinlichkeitsräume, so
heißt jedes W-Maß μ auf (E1×E2, E1⊗E2) mit μ( · ×E2) =μ1 und μ(E1× · )=μ2
eine Kopplung von μ1 und μ2.
Beispiel 18.6. Seien X eine reelle Zufallsvariable und f,g : R → R monoton wachsende
Funktionen mit E[f(X) 2 ] < ∞ und E[g(X) 2 ] < ∞. Wir wollen zeigen, dass
die Zufallsvariablen f(X) und g(X) nichtnegativ korreliert sind.
Sei dazu Y eine unabhängige Kopie von X, also eine von X unabhängige Zufallsvariable
mit PY = PX. Speziell ist E[f(X)] = E[f(Y )] und E[g(X)] = E[g(Y )].
Für alle Zahlen x, y ∈ R ist (f(x) − f(y))(g(x) − g(y)) ≥ 0. Alsoist
0 ≤ E �� f(X) − f(Y ) �� g(X) − g(Y ) ��
= E[f(X)g(X)] − E[f(X)] E[g(Y )] + E[f(Y )g(Y )] − E[f(Y )] E[g(X)]
=2Cov[f(X),g(X)]. ✷
Beispiel 18.7. Sind μ, ν ∈M1(Rd ), so schreiben wir μ � ν, falls � fdμ≤ � fdν
für jede monoton wachsende, beschränkte Funktion f : Rd → R. Wir sagen dann,
dass ν stochastisch größer als μ ist. Offenbar ist � eine Halbordnung auf M1(Rd ).
Sind F1 und F2 die Verteilungsfunktionen von μ1 und μ2, so ist offenbar μ1 �
μ2 genau dann, wenn F1(x) ≥ F2(x) für jedes x ∈ Rd . (Einen Überblick über
verschiedene stochastische Ordnungen findet man beispielsweise in [116].)
Wir zeigen jetzt, dass genau dann μ � ν gilt, wenn es eine Kopplung ϕ von μ1 und
μ2 gibt mit ϕ(L) =1,woL := {x =(x1,x2) ∈ Rd × Rd : x1 ≤ x2}.
Sei ϕ eine solche Kopplung. Für monoton wachsendes, beschränktes f : Rd → R
ist f(x1) − f(x2) ≤ 0 für jedes x =(x1,x2) ∈ L, also � fdμ1− � fdμ2 � � =
f(x1) − f(x2) � ϕ(dx) ≤ 0 und damit μ1 � μ2.
L
Gilt andererseits μ1 � μ2, so wird durch F ((x1,x2)) := min(F1(x1),F2(x2)) eine
Verteilungsfunktion auf R d × R d definiert, die zu einer Kopplung ϕ mit ϕ(L) =1
gehört. ✸