Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

118 5 Momente und Gesetze der Großen Zahl
Satz 5.30 (Rademacher–Menshov). Seien X1,X2,... unkorrelierte quadratintegrierbare
zentrierte Zufallsvariablen und (an)n∈N eine wachsende Folge nichtnegativer
Zahlen mit
∞�
(log n) 2 a −2
n Var[Xn] < ∞. (5.14)
Dann gilt lim sup
n→∞
�
�
�
�
n=1
n�
� a−1 n Xk
k=1
�
�
�
� =0 fast sicher.
�
Beweis. Siehe etwa [120]. ✷
Bemerkung 5.31. Die Bedingung (5.14) ist scharf in dem Sinne, dass es für jede
wachsende Folge (an)n∈N mit �∞ n=1 a−2 n (log n) 2 = ∞ eine Folge paarweise
unabhängiger, quadratintegrierbarer, zentrierter Zufallsvariablen X1,X2,...mit
Var[Xn] =1für jedes n ∈ N gibt, sodass
�
�
�
lim sup �
n→∞ � a−1
n�
�
�
�
n Xk�
= ∞ fast sicher.
�
k=1
Siehe [24]. Dort wird ein Beispiel von Tandori [151] für so genannte orthogonale
Reihen weiter entwickelt. Siehe auch [114]. ✸
Für Zufallsvariablen mit unendlicher Varianz werden Aussagen über die Konvergenzgeschwindigkeit
naturgemäß schwächer. Es gilt beispielsweise (siehe [11]):
Satz 5.32 (Baum und Katz (1965)). Sei γ>1, und seien X1,X2,... u.i.v. sowie
Sn = X1 + ...+ Xn für n ∈ N. Dann gilt
∞�
n γ−2 P[|Sn|/n>ε] < ∞ für jedes ε>0 ⇐⇒ E[|X1| γ ]0 die Ungleichung
von Etemadi gilt:
�
P max
k=1,...,n |Sk|
�
≥t
5.5 Der Poissonprozess
≤ 3 max
k=1,...,n P� |Sk| ≥t/3 � . ♣
Wir wollen ein Modell für die Anzahl der Klicks entwickeln, die ein Geigerzähler
in einem (Zeit-)Intervall I =(a, b] macht. Die Anzahl der Klicks soll dabei