Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

568 26 Stochastische Differentialgleichungen
Für jedes x ∈ R n und jede Lösung X x von LMP(σσ T ,b,δx) gelte die Dualitätsgleichung
E[H(X x t ,y)] = E[H(x, Y y
t )] für alle y ∈ E ′ ,t≥ 0. (26.25)
Dann ist das lokale Martingalproblem zu (σσ T ,b) gut gestellt, also besitzt (26.24)
eine eindeutige schwache Lösung und diese ist ein starker Markovprozess.
Beweis. Nach Satz 26.25 reicht es zu prüfen, dass für jedes x ∈ R n , jede Lösung
X x von LMP(σσ T ,b,δx) und jedes t ≥ 0 die Verteilung P ◦ (X x t ) −1 eindeutig
ist. Da (H( · ,y), y∈ E ′ ) eine trennende Funktionenklasse ist, folgt dies aber aus
(26.16). ✷
Beispiel 26.29 (Wright-Fisher Diffusion). Betrachte die Wright-Fisher SDGL
dXt = [0,1](Xt) � γXt(1 − Xt) dWt, (26.26)
wobei γ > 0 ein Parameter ist. Nach Satz 26.22 existiert für jedes x ∈ R eine
schwache Lösung ( ˜ X,W) von (26.26). ˜ X ist ein stetiges lokales Martingal mit
quadratischer Variation
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
� �
˜X
t =
� t
0
γ ˜ Xs(1 − ˜ Xs) [0,1]( ˜ Xs) ds.
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Abb. 26.3. Simulation einer Wright-Fisher Diffusion mit Parameter γ =1.
Sei τ := inf{t >0: ˜ Xt �∈ [0, 1]} und X := ˜ Xτ der in τ gestoppte Prozess. Dann
ist X ein stetiges, beschränktes Martingal mit
〈X〉t =
� t
0
γXs(1 − Xs) [0,1](Xs) ds,