Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

540 25 Das Itô-Integral
� T
F (XT )=F (X0) = F
0
′ (Xs) dXs + 1
� T
F
2 0
′′ (Xs) d〈X〉s. (25.12)
Dabei ist das rechte Integral in (25.12) als klassisches (Lebesgue-Stieltjes-) Integral
zu verstehen.
Bemerkung 25.26. Ist M ein stetiges lokales Martingal, so ist nach Übung 25.2.1
das Itô-Integral � T
0 F (Ms) dMs der stochastische Limes von �
t∈P n T
F ′ (Mt)(Mt ′ −
Mt) für n →∞. Tatsächlich stimmt also für X = M(ω) das pfadweise Integral
in (25.11) mit dem Itô-Integral (f.s.) überein. Speziell gilt für das Itô-Integral der
Brown’schen Bewegung die Itô-Formel (25.10). ✸
Beweis (von Satz 25.25).
und dass (25.12) gilt.
Wir müssen zeigen, dass der Limes in (25.11) existiert
Für n ∈ N und t ∈Pn T (mit Nachfolger t′ ∈Pn T ) liefert die Taylor-Formel
F (Xt ′) − F (Xt) =F ′ 1
(Xt)(Xt ′ − Xt)+ 2F ′′ (Xt) · (Xt ′ − Xt) 2 + Rn t , (25.13)
wobei wir das Restglied
R n t = � F ′′ (ξ) − F ′′ (Xt) � · 1
2
2 (Xt ′ − Xt)
(für eine geeignete Zwischenstelle ξ zwischen Xt und Xt ′) wie folgt abschätzen.
Da X stetig ist, ist C := {Xt : t ∈ [0,T]} kompakt und F ′′�
�C gleichmäßig
stetig. Zu jedem ε>0 gibt es also ein δ>0 mit
|F ′′ (Xr) − F ′′ (Xs)|