Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

2.1 Unabhängigkeit von Ereignissen 53
Da im obigen Satz, zumindest im Falle unabhängiger Ereignisse, nur die Wahrscheinlichkeiten
P[A∗ ]=0und P[A∗ ]=1auftreten können, zählt das Lemma
von Borel-Cantelli zu den so genannten 0-1 Gesetzen. Wir werden später weitere
0-1 Gesetze kennen lernen (siehe beispielsweise Satz 2.37).
Wir wollen jetzt den Begriff der Unabhängigkeit von Familien von Ereignissen auf
Familien von Ereignissystemen ausdehnen.
Definition 2.11 (Unabhängigkeit von Mengensystemen). Sei I eine beliebige
Indexmenge und Ei ⊂A für jedes i ∈ I. Die Familie (Ei)i∈I heißt unabhängig,
falls für jede endliche Teilmenge J ⊂ I und für jede Wahl von Ej ∈Ej, j ∈ J,
gilt, dass
�
�
�
P = �
P[Ej]. (2.6)
j∈J
Ej
Beispiel 2.12. Sei (Ω,A, P) wie in Beispiel 2.4 der Produktraum der unendlichen
Wiederholung des Experiments mit Ausgängen in der endlichen Menge E mit
Wahrscheinlichkeitsvektor p =(pe)e∈E. Setze für i ∈ N
j∈J
Ei = � {ω ∈ Ω : ωi ∈ A} : A ⊂ E � .
Dann ist für jede Wahl von Ai ∈Ei, i ∈ N, die Familie (Ai)i∈N unabhängig, also
ist (Ei)i∈N unabhängig. ✸
Satz 2.13. (i) Sei I endlich, und für jedes i ∈ I sei Ei ⊂Amit Ω ∈Ei. Dann
gilt
(Ei)i∈I ist unabhängig ⇐⇒ (2.6) gilt für J = I.
(ii) (Ei)i∈I ist unabh. ⇐⇒ � (Ej)j∈J ist unabh. für alle endlichen J ⊂ I � .
(iii) Ist (Ei ∪ {∅}) ∩-stabil, dann gilt
(Ei)i∈I ist unabhängig ⇐⇒ (σ(Ei))i∈I ist unabhängig.
(iv) Sei K eine beliebige Menge und (Ik)k∈K paarweise � �
disjunkte Teilmengen
von I.Ist(Ei)i∈Iunabhängig, dann ist auch i∈Ik Ei
�
k∈K unabhängig.
Beweis. (i) ” =⇒ “ Dies ist trivial.
(i) ” ⇐= “ Für J ⊂ I und j ∈ I \ J wähle Ej = Ω.
(ii) Dies ist trivial.
(iii) ” ⇐= “ Dies ist trivial.