Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

416 20 Ergodentheorie
einen stationären Prozess X. X heißt manchmal auch moving average oder gleitendes
Mittel mit Gewichten (c1,...,ck). Eine genauere Betrachtung ergibt, dass
X sogar dann stationär ist, wenn Y nur als stationär vorausgesetzt wird. ✸
Lemma 20.4. Ist (Xn)n∈N0 stationär,solässt sich X zu einem stationären Prozess
� �
Xn
�
n∈Z fortsetzen.
Beweis. Sei � X der kanonische Prozess auf Ω = EZ .Sei� P {−n,−n+1,...} � ∈
{−n,−n+1,...} E � definiert durch
M1
�P {−n,−n+1,...}� � X−n ∈ A−n, � X−n+1 ∈ A−n+1,... �
= P � X0 ∈ A−n,X1 ∈ A−n+1,... � .
Dann ist � �
P � {−n,−n+1,...} ,n ∈ N projektiv und {−n, −n +1,...} ↑ Z. Nach
dem Satz von Ionescu-Tulcea (Satz 14.32) existiert der projektive Limes � P :=
�P {−n,−n+1,...} . Per Konstruktion ist � X stationär bezüglich � P und
lim
←−
n→∞
�P ◦ � ( � Xn)n∈N0
� −1 = P ◦ � (Xn)n∈N0
� −1. ✷
Im Folgenden sei stets (Ω,A, P) ein W-Raum und τ : Ω → Ω eine messbare
Abbildung.
Definition 20.5. Ein Ereignis A ∈ A heißt invariant, falls τ −1 (A) = A und
quasi-invariant, falls τ −1 (A) = A P–f.s. Die σ-Algebra der invarianten Ereignisse
bezeichnen wir mit
I = � A ∈A: τ −1 (A) =A �
Lemma 20.6. Eine messbare Abbildung f :(Ω,A) → (R, B(R)) ist genau dann
I-messbar, wenn f ◦ τ = f ist.
Beweis. Für Indikatorfunktionen f = A ist dies klar. Der allgemeine Fall folgt
mit den üblichen Approximationsargumenten (siehe Satz 1.96(i)). ✷
Zur Erinnerung: Eine σ-Algebra I heißt P-trivial, falls P[A] ∈{0, 1} für jedes
A ∈I gilt.
Definition 20.7. (i) τ heißt maßtreu, falls
P � τ −1 (A) � = P[A] für jedes A ∈A.
In diesem Falle heißt (Ω,A, P,τ) ein maßerhaltendes dynamisches System.
(ii) Ist τ maßtreu und I P-trivial, so heißt (Ω,A, P,τ) ergodisch.