Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

158 7 L p -Räume und Satz von Radon-Nikodym
Wir setzen jetzt Ω + = �∞ m=1 Em, also Em ↓ Ω + .Dannist
⎛
ϕ(Em) =ϕ ⎝Ω + ⊎ �
⎞
(En \ En+1) ⎠
= ϕ(Ω + )+
n≥m
∞�
n=m
ϕ(En \ En+1) m→∞
−→ ϕ(Ω + ),
wobei wir im letzten Schritt Bemerkung 7.41(i) ausgenutzt haben. Insgesamt ist
α = lim
m→∞ ϕ(Am) ≤ lim
m→∞ ϕ(Em) =ϕ(Ω + ).
Per Definition ist aber α ≥ ϕ(Ω + ), also α = ϕ(Ω + ), was zu zeigen war. ✷
Korollar 7.44 (Zerlegungssatz von Jordan). Sei ϕ ∈LV(Ω,A) ein signiertes
Maß. Dann gibt es eindeutig bestimmte endliche Maße ϕ + ,ϕ − mit ϕ = ϕ + − ϕ −
und ϕ + ⊥ ϕ − .
Beweis. Sei Ω = Ω + ⊎ Ω − die Hahn-Zerlegung. Setze ϕ + (A) :=ϕ(A ∩ Ω + ) und
ϕ − (A) :=−ϕ(A ∩ Ω − ).
Die Eindeutigkeit der Zerlegung ist trivial. ✷
Korollar 7.45. Sei ϕ ∈LV(Ω,A) und ϕ = ϕ + − ϕ− die Jordan-Zerlegung von ϕ,
sowie Ω = Ω + ⊎ Ω− die Hahn-Zerlegung von Ω. Dann definiert
�ϕ�TV := sup � ϕ(A) − ϕ(Ω \ A) : A ∈A �
= ϕ(Ω + ) − ϕ(Ω − )
= ϕ + (Ω)+ϕ − (Ω)
eine Norm auf LV(Ω,A), die so genannte Totalvariationsnorm.
Beweis. Zu zeigen ist nur die Dreiecksungleichung. Seien ϕ1,ϕ2 ∈LV.SeiΩ =
Ω + ⊎ Ω − die Hahn-Zerlegung bezüglich ϕ := ϕ1 + ϕ2 und Ω = Ω +
i
bezüglich ϕi, i =1, 2. Dann gilt
�ϕ1 + ϕ2�TV = ϕ1(Ω + ) − ϕ1(Ω − )+ϕ2(Ω + ) − ϕ2(Ω − )
≤ ϕ1(Ω + 1 ) − ϕ1(Ω − 1 )+ϕ2(Ω + 2 ) − ϕ2(Ω − 2 )
⊎ Ω−
i die
= �ϕ1�TV + �ϕ2�TV. ✷
Wir wollen jetzt einen alternativen Beweis des Zerlegungssatzes von Lebesgue
(Satz 7.33) angeben und bereiten dies mit einem Lemma vor.