Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

15.4 Charakteristische Funktion und Momente 303
Hieraus folgt nach Satz 15.31 aber schon E[X 2n ]=u (2n) (0) = ϕ (2n) (0). ✷
Bemerkung 15.35. Für ungerade Momente gilt die Aussage des Satzes nicht (siehe
etwa Übung 15.4.4 für das erste Moment). In der Tat ist ϕ in 0 genau dann differenzierbar
mit Ableitung im für ein m ∈ R, wennxP[|X| >x] x→∞
−→ 0 und
E[X {|X|≤x}] x→∞
−→ m. (Siehe [53, Kapitel XVII.2a, Seite 565].) ✸
Übung 15.4.1. Es seien X und Y nichtnegative Zufallsvariablen mit
und
lim sup
n→∞
1
n E[|X|n ] 1/n 1
< ∞, lim sup
n→∞ n E[|Y |n ] 1/n < ∞,
E[X m Y n ]=E[X m ] E[Y n ] für alle m, n ∈ N0.
Man zeige: X und Y sind unabhängig.
Hinweis: Verwende Korollar 15.32 für die Zufallsvariable Y bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes
X m P[ · ]/E[X m ] um zu zeigen, dass
E[X m A(Y )]/E[X m ]=P[Y ∈ A] für jedes A ∈B(R) und m ∈ N0.
Verwende nun Korollar 15.32 für X bezüglich des W-Maßes P[ · |Y ∈ A]. ♣
Übung 15.4.2. Seien r, s > 0 und Z ∼ Γ1,r+s, B ∼ βr,s (siehe Beispiel 1.107).
Man zeige mit Hilfe von Übung 15.4.1: Die Zufallsvariablen X := BZ und Y :=
(1 − B)Z sind unabhängig mit X ∼ Γ1,r und Y ∼ Γ1,s. ♣
Übung 15.4.3. Man zeige, dass für α>2 die Funktion φα(t) =e−|t|α keine charakteristische
Funktion ist.
(Hinweis: Man nehme das Gegenteil an und zeige, dass dann die zugehörige Verteilung
verschwindende Varianz hätte.) ♣
Übung 15.4.4. Seien X1,X2,... u.i.v. reelle Zufallsvariablen mit charakteristischer
Funktion ϕ. Man zeige:
(i) Ist ϕ differenzierbar in 0, soistϕ ′ (0) = imfür ein m ∈ R.
(ii) ϕ ist differenzierbar in 0 mit ϕ ′ (0) = im genau dann, wenn (X1 + ... +
Xn)/n n→∞
−→ m stochastisch.
(iii) Die Verteilung von X1 kann so gewählt werden, dass ϕ differenzierbar in 0 ist,
aber E[|X1|] =∞. ♣