Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

412 19 Markovketten und elektrische Netzwerke
19.6 Irrfahrt in zufälliger Umgebung
(Vergleiche [163], [135] und [76, 77].) Wir betrachten eine Markovkette X auf
Z, die in jedem Schritt entweder einen Punkt nach links oder einen Punkt nach
rechts springt, jeweils mit Wahrscheinlichkeit w −
i beziehungsweise w+ i , falls X
in i ∈ Z ist. Es seien also w −
i ∈ (0, 1) und w+ i := 1 − w −
i für i ∈ Z. DannistX
die Markovkette mit Übergangsmatrix
⎧
⎪⎨ w
pw(i, j) =
⎪⎩
−
i , falls j = i − 1,
w +
i , falls j = i +1,
0, sonst.
Um X durch die Leitfähigkeiten eines elektrischen Netzwerks zu beschreiben, setzen
wir ϱi := w −
i /w+ i für i ∈ Z sowie Cw(i, j) :=0 falls |i − j| �= 1 und
� �i k=0
Cw(i +1,i):=Cw(i, i +1) :=
ϱ−1
k , falls i ≥ 0,
�−1 k=i ϱk, falls i