Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

13.3 Der Satz von Prohorov 251
besitzt (Fn(q1))n∈N eine konvergente Teilfolge � Fn1 (q1)
k �
k∈N
eine Teilfolge (n2 k )k∈N von (n1 k )k∈N, sodass � Fn2 (q2)
k �
k∈N
halten wir Teilfolgen (n1 k ) ⊃ (n2 k ) ⊃ (n3 k ) ⊃ ..., sodass � Fnl (ql)
k �
. Ebenso finden wir
konvergiert. Iterativ er-
für jedes
k∈N
l ∈ N konvergiert. Setze jetzt nk := nk k . Dann konvergiert � Fnk (q)� für jedes
k∈N
q ∈ Q. Setze � F (q) = lim Fnk (q) und
k→∞
F (x) =inf � � F (q) : q ∈ Q mit q>x � .
Da � F monoton wachsend ist, ist F rechtsstetig und monoton wachsend.
Ist F stetig in x, so existieren zu ε>0 Zahlen q− ,q + ∈ Q, q− K.Istx > K eine Stetigkeitsstelle von F , dann gilt
lim supk→∞ Fnk (∞) ≤ lim supk→∞ Fnk (x)+ε = F (x)+ε ≤ F (∞)+ε. ✷
Wir kommen zu einer ersten Anwendung des Satzes von Prohorov. Die ganze Stärke
des folgenden Satzes wird erst deutlich, wenn wir geeignete trennende Funktionenklassen
zur Verfügung haben. Diese werden wir in Kapitel 15 genauer untersuchen.
Satz 13.34. Sei E polnisch, und seien μ, μ1, μ2,...∈M≤1(E). Dann sind äquivalent:
(i) μ =w-lim
n→∞ μn.
(ii) (μn)n∈N ist straff, und es gibt eine trennende Familie C⊂Cb(E) mit
�
�
fdμ= lim
n→∞
fdμn für jedes f ∈C. (13.8)
Beweis. ” (i) =⇒ (ii)“ Nach der einfachen Implikation im Satz von Prohorov
(Satz 13.29(ii)) folgt aus der schwachen Konvergenz die Straffheit.