Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

17.6 Invariante Verteilungen 361
Satz 17.47. Sei x ein rekurrenter Zustand und τ 1 x =inf{n ≥ 1: Xn = x}. Dann
wird ein invariantes Maß μx definiert durch
⎡
τ
μx({y}) =Ex ⎣
1
x−1 ⎤
�
∞� �
⎦ {Xn=y} = Px Xn = y; τ 1 x >n � .
n=0
Beweis. Zunächst müssen wir zeigen, dass μx({y}) < ∞ ist für jedes y ∈ E. Für
y = x ist offenbar μx({x}) =1.Für y �= x und F (x, y) =0ist μx({y}) =0.Sei
nun y �= x und F (x, y) > 0. Dax rekurrent ist, ist F (x, y) =F (y, x) =1, und y
ist rekurrent (Satz 17.35). Sei
�F (x, y) =Px
n=0
� 1
τx >τ 1� y .
Dann ist � F (x, y) > 0 (sonst würde y nicht getroffen) und nach Vertauschung der
Rollen von x und y auch � F (y, x) > 0.
Nach der starken Markoveigenschaft (Satz 17.14) ist
Also ist
Ey
⎡
�
⎣
τ 1
x −1
n=0
Mithin ist
⎡
�
μx({y}) =Ex⎣
τ 1
x −1
n=0
{Xn=y}
Ey
{Xn=y}
⎤ ⎡
�
⎦ =1+Ey ⎣
τ 1
x −1
n=τ 1 y
�
=1+ 1 − � �
F (y, x)
⎡
�
⎣
τ 1
x −1
n=0
{Xn=y}
⎤ ⎡
�
⎦ = Ex⎣
τ 1
x −1
n=τ 1 y
⎤
⎦ =
{Xn=y}; τ 1 x >τ 1 y
Ey
1
�F (y, x) .
⎡
�
⎣
τ 1
x −1
n=0
{Xn=y}; τ 1 x >τ 1 y
⎤
⎦
{Xn=y}
�
Definiere pn(x, y) =Px Xn = y; τ 1 x >n � .Dannistfür jedes z ∈ E
μx p({z}) = �
∞� �
μx({y}) p(y, z) = pn(x, y) p(y, z).
y∈E
1. Fall: x �= z. Dann ist
�
pn(x, y)p(y, z) = �
y∈E
n=0 y∈E
�
Px Xn = y, τ
y∈E
1 x >n,Xn+1 = z �
⎤
⎦ .
⎤
⎦= � F (x, y)
< ∞.
�F (y, x)
� 1
= Px τx >n+1;Xn+1 = z � = pn+1(x, z).