Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

18.4 Konvergenzgeschwindigkeit 385
wo I die Einheitsmatrix auf E ist. pε beschreibt die Irrfahrt auf E, die mit Wahrscheinlichkeit
ε am Ort stehen bleibt und mit Wahrscheinlichkeit 1−ε einen Sprung
gemäß p macht. Offenbar ist pε irreduzibel und aperiodisch. Die Eigenwerte sind
λε,k =(1− ε)λk + ε, k =0,...,N − 1,
mit zugehörigen Eigenvektoren x k wie oben. Offenbar ist λε,0 =1, und λ ε,N/2 =
2ε − 1 ist der betragsmäßig zweitgrößte Eigenwerte, falls ε>0 sehr klein ist. Für
größere ε ist |λε,1| > |λ ε,N/2|. Genauer gilt: Setzen wir
ε0 :=
(1 − (2r − 1) 2 )sin(2π/N) 2
(1 − (2r − 1) 2 )sin(2π/N) 2 + 2 cos(2π/N) ,
so ist der Betrag γε des betragsmäßig zweitgrößten Eigenwertes
und
γε = |λε,1|
=
� �(1 − ε)cos � 2π
N
γε = |λ ε,N/2| =1− 2ε, falls ε ≤ ε0,
� �2 � � ��
2π 2
+ ε + (1 − ε)(2r − 1) sin N
falls ε ≥ ε0.
Es ist nicht schwer zu zeigen, dass ε ↦→ |λε,N/2| monoton fallend ist und ε ↦→ |λε,1|
monoton wachsend. Daher ist γε minimal für ε = ε0.
Es gibt also ein C