Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

438 21 Die Brown’sche Bewegung
Satz 21.14. Sei (Bt)t≥0 eine Brown’sche Bewegung und
�
tB1/t, falls t>0,
Xt =
0, falls t =0.
Dann ist X eine Brown’sche Bewegung.
Beweis. Offenbar ist X ein Gauß’scher Prozess. Für s, t > 0 ist
Cov[Xs,Xt] =ts · Cov[B 1/s,B 1/t] =ts min � s −1 ,t −1� =min(s, t).
Offenbar ist t ↦→ Xt stetig in allen t>0. Für die Stetigkeit in t =0betrachte
lim sup Xt = lim sup
t↓0
t→∞
≤ lim sup
n→∞
1
t Bt
1
n Bn + lim sup
n→∞
1
n sup � Bt − Bn, t∈ [n, n +1] � .
Nach dem Starken Gesetz der großen Zahl ist limn→∞ 1
n Bn =0f.s. Nach einer
Verallgemeinerung des Spiegelungsprinzips (Satz 17.15, siehe auch Satz 21.19) ist
für x>0 (mit der Abkürzung B [a,b] := {Bt : t ∈ [a, b]})
P � sup B [n,n+1] − Bn >x � = P � sup B [0,1] >x � =2P[B1 >x]
= 2
� ∞
√ e
2π x
−u2 /2 1
du ≤
x e−x2 /2
.
∞�
Speziell ist P � sup B [n,n+1] − Bn >n ε� < ∞ für jedes ε>0. Nach dem
n=1
Lemma von Borel-Cantelli (Satz 2.7) ist daher
lim sup
n→∞
1
n sup � Bt − Bn, t∈ [n, n +1] � =0 fast sicher.
Mithin ist X auch in 0 stetig. ✷
Satz 21.15 (Blumenthal’sches 0-1 Gesetz). Sei B eine Brown’sche Bewegung
und F =(Ft)t≥0 = σ(B) die erzeugte Filtration, sowie F + �
0 = t>0 Ft. Dann
ist F + 0 eine P-triviale σ-Algebra.
Beweis. Setze Y n =(B 2 −n +t − B 2 −n) t∈[0,2 −n ], n ∈ N. Dannist(Y n )n∈N eine
unabhängige Familie von Zufallsvariablen (mit Werten in C([0, 2 −n ])). Die termi-
nale σ-Algebra T = �
n∈N σ(Y m ,m≥ n) ist nach dem Kolmogorov’schen 0-1
Gesetz (Satz 2.37) P–trivial. Andererseits ist σ(Y m ,m≥ n) =F 2 −n+1, also ist
F + 0
�
= Ft = �
t>0
n∈N
F 2 −n+1 = T
P–trivial. ✷