Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

560 26 Stochastische Differentialgleichungen
�
λ
ϕ(t, λ, x) =exp −
(γ/2)λt +1 x
�
.
Dies ist aber (für γ =2) genau die Laplace-Transformierte der Übergangswahrscheinlichkeiten
des Markov-Prozesses, den wir in Satz 21.48 definiert hatten und
den wir im Satz von Lindvall (Satz 21.51) als Grenzwert von reskalierten Galton-
Watson Verzweigungsprozessen kennen gelernt haben. ✸
26.2 Schwache Lösungen und Martingalproblem
Im letzten Abschnitt haben wir starke Lösungen der stochastischen Differentialgleichung
dXt = σ(t, Xt) dWt + b(t, Xt) dt (26.15)
kennen gelernt. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass jedem Pfad der Brown’schen
Bewegung W genau ein Pfad der Lösung X zugeordnet wird. Wir wollen nun zum
Begriff der schwachen Lösung kommen, bei der zusätzliche Information (das heißt
zusätzlicher Zufall) in die Lösung mit eingehen kann.
Definition 26.12 (Schwache Lösung einer SDGL). Eine schwache Lösung von
(26.15) mit Startverteilung μ ∈M1(R n ) ist ein Tripel
wobei gilt:
L = � (X, W), (Ω,F, P), F � ,
– (Ω,F, P) ist ein Wahrscheinlichkeitsraum,
– F = (Ft)t≥0ist eine Filtration auf (Ω,F, P), die die üblichen Bedingungen
erfüllt,
– W ist eine Brown’sche Bewegung auf (Ω,F, P) und bezüglich F ein Martingal.
– X ist stetig und adaptiert (also progressiv messbar),
– P ◦ (X0) −1 = μ,
– sowie
Xt = X0 +
� t
0
σ(s, Xs) dWs +
� t
0
b(s, Xs) ds P-f.s. (26.16)
Eine schwache Lösung L heißt (schwach) eindeutig, falls für jede weitere Lösung
L ′ mit Startverteilung μ gilt: P ′ ◦ (X ′ ) −1 = P ◦ X −1 .
Bemerkung 26.13. Offenbar ist eine schwache Lösung einer SDGL stets eine verallgemeinerte
n-dimensionale Diffusion. Sind die Koeffizienten σ und b unabhängig
von t,soistdieLösung eine n-dimensionale Diffusion. ✸