Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

24.3 Die Poisson-Dirichlet-Verteilung ∗
Beweis. Sei M wie in Korollar 24.27. Dann ist X1 = Mt1 /Mtn ∼ βθ1,tn−θ1 und
�
Mtn −Mt1 X1 = Mt1 �
X2
+1
� −1
,...,
1 − X1
Xn
�
1 − X1
521
nur von Mt1 und Mtn − Mt1 abhängig. Andererseits ist
=
�
Mt2 − Mt1
Mtn − Mt1
,...,
Mtn − Mtn−1
Mtn − Mt1
unabhängig von Mt1 und nach Korollar 24.27 auch unabhängig von Mtn − Mt1
sowie Dirθ2,...,θn-verteilt. ✷
Korollar 24.29. Seien V1,V2,... unabhängig und Vi ∼ βθi,θi+1+...+θn sowie Vn =
1. Dann ist
�
� n−2 � � �
V1, (1 − V1)V2, (1 − V1)(1 − V2)V3,..., (1 − Vi) ∼ Dirθ1,...,θn .
Beweis. Das folgt durch Iteration der Aussage von Korollar 24.28. ✷
Eine natürliche Fragestellung ist, was passiert, wenn wir immer mehr Farben differenzieren
(statt zusammenzufassen). Wir wollen der Einfachheit halber eine symmetrische
Situation annehmen, bei der θ1 = ... = θn = θ/n für ein θ>0 ist. Wir
betrachten also
Dirθ;n := Dirθ,...,θ für θ>0.
Ist Xn =(Xn 1 ,...,Xn n ) ∼ Dirθ/n;n, so ist aus Symmetriegründen E[Xn i ]=1/n
für jedes n ∈ N und i =1,...,n. Offenbar gilt also (Xn 1 ,...,Xn n→∞
k ) =⇒ 0 für
jedes k ∈ N. Eine Möglichkeit, einen nicht-trivialen Grenzwert zu erhalten ist, die
Werte der Größe nach zu ordnen Xn (1) ≥ Xn (2) ≥ ...
Definition 24.30. Sei θ>0 und (Mt) t∈[0,θ] ein Moran-Gamma-Subordinator. Seien
m1 ≥ m2 ≥ ... ≥ 0 die der Größe nach sortierten Sprunghöhen von M und
˜mi = mi/Mθ, i =1, 2,... Die Verteilung der Zufallsvariablen (˜m1, ˜m2,...) auf
S := {(x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ 0) : x1 + x2 + ... =1} heißt Poisson-Dirichlet-
Verteilung PDθ mit Parameter θ>0.
Genau genommen müssen wir noch nachweisen, dass �∞ i=1 ˜mi =1ist. Sei hierzu
Y ein PPP auf (0, ∞) × (0,θ] mit Intensitätsmaß ν ⊗ λ, woλ das Lebesgue-Maß
ist und ν(dx) = e−xx−1 dx das Lévy-Maß der Γ1,1-Verteilung. Wir können M
definieren durch Mt := �
(x,s): Y ({x,s})=1,s≤t x. Nun ist m1 =sup{x ∈ (0, ∞) :
Y ({x}×(0,θ]) = 1} und sukzessive mn =sup{x