Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

Sei
A 3 L:=
�
x 1 ,x 2 ,x 3 ∈BL\BL−1
� �
i�=j
2.4 Beispiel: Perkolation 73
{C p (x i ) ∩ C p (x j � �
�3
)=∅} ∩ {#C p (x i �
)=∞}
das Ereignis, dass es drei Punkte auf dem Rand von BL gibt, die in unterschiedlichen,
unendlich großen, offenen Clustern sitzen. Offenbar gilt A3 L ↑{N ≥ 3} für
L →∞.
Analog zu A2 L,0 definieren wir A3 L,0
Rand von BL gibt, die in unterschiedlichen unendlich großen, offenen Clustern sitzen,
wenn wir alle Kanten in KL als geschlossen ansehen. Wie oben ist A3 L ⊂ A3L,0 .
i=1
als das Ereignis, dass es drei Punkte auf dem
Für drei unterschiedliche Punkte x 1 ,x 2 ,x 3 ∈ BL \BL−1 sei F x 1 ,x 2 ,x 3 das Ereignis,
dass es zu jedem i =1, 2, 3 einen unendlich langen selbstüberschneidungsfreien,
offenen Pfad π x i gibt, der in x i startet, nur Kanten aus K p \ KL benutzt und die
anderen xj , j �= i, vermeidet. Dann gilt
A 3 �
L,0 ⊂
x 1 ,x 2 ,x 3 ∈BL\BL−1
paarweise unterschiedlich
F x 1 ,x 2 ,x 3.
Sei L so groß, dass Pp[A 3 L,0 ] ≥ Pp[N ≥ 3]/2 > 0 gilt. Wähle drei unterschiedliche
Punkte x 1 ,x 2 ,x 3 ∈ BL \ BL−1 mit Pp[F x 1 ,x 2 ,x 3] > 0.
Tritt F x 1 ,x 2 ,x 3 ein,sokönnen wir einen Punkt y ∈ BL finden, von dem aus drei
disjunkte (nicht notwendigerweise offene) Pfade π1, π2 und π3 zu den Punkten x 1 ,
x 2 und x 3 führen. Sei G y,x 1 ,x 2 ,x 3 das Ereignis, dass in KL genau diejenigen Kanten
offen sind, die zu diesen Pfaden gehören, und alle anderen geschlossen. Die Ereignisse
F x 1 ,x 2 ,x 3 und G y,x 1 ,x 2 ,x 3 sind unabhängig, und y ist ein Trifurkationspunkt,
falls beide eintreten. Daher ist
r = Pp[y ∈ T ] ≥ Pp[Fx1 ,x2 ,x3] · � p ∧ (1 − p) � #KL
> 0.
Wir zeigen nun, dass r =0sein muss, was die Annahme Pp[N ≥ 3] > 0 ad absurdum
führt. Wir machen die Menge TL zu einem Graphen, indem wir zwei Punkte
x, y ∈ TL als benachbart betrachten, falls es einen offenen Pfad von x nach y gibt,
der keinen anderen Punkt in T trifft. Wir schreiben dann x ∼ y. Eine Schleife ist ein
selbstüberschneidungsfreier, endlicher Pfad, der zu seinem Startpunkt zurückkehrt.
Der Graph (TL, ∼) ist schleifenfrei. In der Tat: gäbe es einen in x ∈ TL startenden
selbstüberschneidungsfreien Pfad, der, sagen wir, die beiden Punkte y, z ∈ TL trifft,
so entstünden durch die Wegnahme der drei Kanten k ∈ Kp , die an x angrenzen,
höchstens zwei Cluster - wobei einer y und z enthält.
Wir schreiben degTL (x) für die Anzahl der Nachbarn von x in TL.DaTL schleifenfrei
ist, ist #TL− 1 �
2 x∈TL degTL (x) die Anzahl der Zusammenhangskomponenten
von TL, also insbesondere nichtnegativ. Andererseits ist 3 − degTL (x) die Anzahl