Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

178 8 Bedingte Erwartungen
Beispiel 8.29. Seien Z1,Z2 unabhängig und Poisson-verteilt mit den Parametern
λ1,λ2 ≥ 0. Dann kann man zeigen (Übung!), dass (mit Y = Z1 und X = Z1 + Z2)
P[Z1 = k � � Z1 + Z2 = n] =bn,p(k) für k =0,...,n,
wobei p = λ1
ist. ✸
λ1+λ2
Dieses Beispiel ließ sich aber im Grunde genommen auch noch mit elementaren
Mitteln bearbeiten. Die volle Stärke des Ergebnisses nutzen wir in den folgenden
Beispielen aus.
Beispiel 8.30. Seien X und Y reelle Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichtefunktion
f (bezüglich des Lebesgue-Maßes λ2 auf R2 ). Für x ∈ R setzen wir
�
fX(x) = f(x, y) λ(dy).
R
Offenbar ist fX(x) > 0 für PX-f.a. x ∈ R und f −1
X ist die Dichte des absolutstetigen
Anteils des Lebesgue-Maßes λ bezüglich PX. Die reguläre Version der bedingten
Verteilung von Y gegeben X hat die Dichte
P[Y ∈ dy|X = x]
dy
= f Y |X(x, y) :=
f(x, y)
fX(x)
für PX[dx]-f.a. x ∈ R. (8.9)
In � der Tat ist nach dem Satz von Fubini (siehe Satz 14.16) die Abbildung x ↦→
B fY |X(x, y) λ(dy) messbar für jedes B ∈B(R), und für A, B ∈B(R) gilt
�
�
P[X ∈ dx] fY |X(x, y) λ(dy)
A
B�
= P[X ∈ dx] fX(x)
A
−1
�
f(x, y) λ(dy)
� �
B
= λ(dx) f(x, y) λ(dy)
A
�
B
= fdλ 2 = P[X ∈ A, Y ∈ B]. ✸
.
A×B
Beispiel 8.31. Seien μ1,μ2 ∈ R, σ1,σ2 > 0 und Z1,Z2 unabhängig und N μi,σ 2 i
verteilt (i =1, 2). Dann existiert eine reguläre Version der bedingten Verteilung
P[Z1 ∈ · |Z1 + Z2 = x] für x ∈ R.
Setzen wir X = Z1+Z2 und Y = Z1,soist(X, Y ) ∼Nμ,Σ �
bivariat normalverteilt
2 σ1 + σ
mit Kovarianzmatrix Σ :=
2 2 σ2 �
� �
1
μ1 + μ2
und mit μ :=
.Wegen
σ 2 1
σ 2 1
μ1