Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

88 4 Das Integral
Zu (a): Es ist (f + g) + − (f + g) − = f + g = f + − f − + g + − g− , also ist
(f + g) + + f − + g− =(f + g) − + f + + g + . Nach Lemma 4.6(iii) gilt
�
(f + g) + �
dμ + f − �
dμ + g − �
dμ = (f + g) − �
dμ + f + �
dμ + g + dμ,
also ist
�
�
(f + g) dμ =
�
=
�
=
Zu (b):
�
Für α ≥ 0 ist
�
αf dμ = αf + �
dμ −
Zu (c): Es ist
�
�
(−f) dμ =
�
=
(f + g) + �
dμ − (f + g) − dμ
f + �
dμ − f − �
dμ + g + �
dμ −
fdμ+ gdμ.
αf − �
dμ = α
f + �
dμ − α
(−f) + �
dμ − (−f) − dμ
f − �
dμ − f + �
dμ = −
�
g − dμ
f − �
dμ = α
fdμ.
fdμ.
Der Zusatz ist simpel und verbleibt zur Übung. ✷
Satz 4.10 (Bildmaß). Seien (Ω,A) und (Ω ′ , A ′ ) Messräume, μ ein Maß auf (Ω,A)
und X : Ω → Ω ′ messbar. Sei μ ′ = μ ◦ X −1 das Bildmaß von μ unter X und
f : Ω ′ → R integrierbar bezüglich μ ′ . Dann ist f ◦ X ∈L1 (μ) und
�
�
(f ◦ X) dμ = fd(μ◦ X −1 ).
Ist speziell X eine Zufallsvariable auf (Ω,A, P),soist
�
�
� �
f(x) P[X ∈ dx] := f(x) PX[dx] = fdPX = f(X(ω)) P[dω].
Beweis. Übung! ✷
Beispiel
�
4.11 (Diskreter Maßraum). Sei (Ω,A) ein diskreter Messraum und μ =
αωδω für gewisse Zahlen αω ≥ 0, ω ∈ Ω. Eine Abbildung f : Ω → R ist
ω∈Ω
genau dann integrierbar, wenn �
|f(ω)| αω < ∞ ist. In diesem Fall gilt
ω∈Ω
�
fdμ= �
f(ω) αω. ✸
ω∈Ω