Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

146 7 L p -Räume und Satz von Radon-Nikodym
Lemma 7.15 (Young’sche Ungleichung). Für p, q ∈ (1, ∞) mit 1
p
x, y ∈ [0, ∞) gilt
xy ≤ xp
p
1 + q =1und für
yq
+ . (7.1)
q
Beweis. Wir halten y ∈ [0, ∞) fest und definieren f(x) := xp
p
+ yq
q
− xy für
x ∈ [0, ∞). f ist zweimal stetig differenzierbar in (0, ∞) mit Ableitungen f ′ (x) =
x p−1 − y und f ′′ (x) =(p − 1)x p−2 . Speziell ist f strikt konvex und besitzt daher
eine eindeutige Minimalstelle bei x0 = y 1/(p−1) . Nach Voraussetzung ist q = p
p−1 ,
also x p
0 = yq und daher
f(x0) =
� �
1 1
+ y
p q
q − y 1/(p−1) y =0. ✷
Satz 7.16 (Hölder’sche Ungleichung). Seien p, q ∈ [1, ∞] mit 1
p
f ∈L p (μ), g∈L q (μ). Dann gilt (fg) ∈L 1 (μ) und
�fg�1 ≤�f�p ·�g�q.
+ 1
q =1und
Beweis. Die Fälle p =1und p = ∞ sind trivial. Sei also nun p ∈ (1, ∞) und
f ∈ L p (μ) und g ∈ L q (μ) nicht fast überall Null. Indem wir zu f/�f�p und
g/�g�q übergehen, können wir �f�p = �g�q =1annehmen. Nach Lemma 7.15 ist
�
�fg�1 = |f|·|g| dμ ≤ 1
�
|f|
p
p dμ + 1
�
|g|
q
q dμ
= 1 1
+
p q =1 = �f�p ·�g�q. ✷
Satz 7.17 (Minkowski’sche Ungleichung). Für p ∈ [1, ∞] und f,g ∈L p (μ) gilt
�f + g�p ≤�f�p + �g�p. (7.2)
Beweis. Der Fall p = ∞ ist wiederum trivial. Sei also p ∈ [1, ∞). Die linke Seite
in (7.2) wird nicht kleiner, wenn wir f und g durch |f| und |g| ersetzen. Wir können
also ohne Einschränkung annehmen, dass f ≥ 0 und g ≥ 0 gelten.
Nun ist (f + g) p ≤ 2 p (f p ∨ g p ) ≤ 2 p (f p + g p ), also ist f + g ∈L p (μ). Mit Hilfe
der Hölder’schen Ungleichung, angewandt auf f ·(f +g) p−1 und auf g ·(f +g) p−1 ,
erhalten wir
�f + g� p p =
�
(f + g) p �
dμ =
f(f + g) p−1 �
dμ +
≤�f�p ·�(f + g) p−1 �q + �g�p ·�(f + g) p−1 �q
=(�f�p + �g�p) ·�f + g� p−1
p ,
g(f + g) p−1 dμ