Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

2.3 Kolmogorov’sches 0-1 Gesetz 61
X := � −2log(U) cos(2πV ) und Y := � −2log(U) sin(2πV ).
Man zeige: X und Y sind unabhängig und N0,1-verteilt.
Hinweis: Man berechne zunächst die Verteilung von � −2log(U) und benutze die
Transformationsformel für Dichten (Satz 1.101) sowie Polarkoordinatentransformation.
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2.3 Kolmogorov’sches 0-1 Gesetz
Mit dem Lemma von Borel-Cantelli haben wir bereits ein 0-1 Gesetz für unabhängige
Ereignisse kennen gelernt. Wir kommen jetzt zu einem weiteren 0-1 Gesetz
für unabhängige Ereignisse, beziehungsweise σ-Algebren. Um dies zu formulieren,
müssen wir zunächst den Begriff der terminalen σ-Algebra einführen.
Definition 2.34 (Terminale σ-Algebra). Sei I eine abzählbar unendliche Indexmenge
und (Ai)i∈I eine Familie von σ-Algebren. Dann heißt
T � � �
� � �
(Ai)i∈I := σ Aj
J⊂I
#J