Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

62 2 Unabhängigkeit
Beweis. ” ⊂“ Dies ist klar.
” ⊃“ Sei Jn ↑ I mit endlichen Mengen Jn ⊂ I, n ∈ N, und sei J ⊂ I endlich.
Dann existiert ein N ∈ N mit J ⊂ JN , und es ist
∞�
N�
n=1
� � �
σ
Am
m∈I\Jn
⊂
n=1
� � �
σ
Am
m∈I\Jn
� � � � �
= σ
Am ⊂ σ
m∈I\JN
m∈I\J Am
�
.
Die linke Seite hängt nicht von J ab, also können wir den Schnitt über alle endlichen
J bilden und erhalten
∞� � � �
σ
Am ⊂T
m∈I\Jn
� �
(Ai)i∈I . ✷
n=1
Es ist vielleicht nicht so ohne weiteres klar, dass es überhaupt noch interessante Ereignisse
in der terminalen σ-Algebra gibt. Vielleicht ist nicht einmal a priori klar,
dass nicht etwa T = {∅,Ω} gilt. Daher geben wir jetzt erst einmal einfache Beispiele
für terminale Ereignisse beziehungsweise terminal messbare Zufallsvariablen
an. In Abschnitt 2.4 werden wir ein weiteres Beispiel kennen lernen.
Beispiel 2.36. (i) Seien A1,A2,... Ereignisse. Dann sind die Ereignisse A∗ :=
lim inf
n→∞ An und A∗ := lim sup An in T ((An)n∈N). Setzen wir nämlich Bn :=
n→∞
∞�
Am für n ∈ N, dann gilt Bn ↑ A∗ und Bn ∈ σ((Am)m≥N ) für jedes n ≥ N.
m=n
Also ist A∗ ∈ σ((Am)m≥N) für jedes N ∈ N und damit A∗ ∈T((An)n∈N). Für
A∗ geht dies analog.
(ii) Ist (Xn)n∈N eine Familie R-wertiger Zufallsvariablen, so sind auch die Abbildungen
X∗ := lim infn→∞ Xn und X∗ := lim supn→∞ Xn messbar bezüglich
T ((Xn)n∈N). In der Tat: Setzen wir Yn := supm≥n Xm, soistfür jedes N ∈ N
die Zufallsvariable X∗ = infn≥1Yn = infn≥NYnmessbar bezüglich TN :=
σ(Xn, n≥ N), also auch bezüglich T ((Xn)n∈N) = �∞ n=1 Tn.
Für X∗ geht dies analog.
(iii) Seien (Xn)n∈N reellwertige Zufallsvariablen. Dann sind die Cesàro-Limiten
lim inf
n→∞
1
n
n�
i=1
Xi und lim sup
n→∞
messbar bezüglich T ((Xn)n∈N). Um dies zu zeigen, wählen wir ein N ∈ N und
beachten, dass
n�
n�
1
1
X∗ := lim inf Xi = lim inf Xi
n→∞ n
n→∞ n
i=1
1
n
n�
i=1
i=N
Xi