Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

19.3 Elektrische Netzwerke 395
und dass in Summe genauso viel Strom rein- wie rausfließt. Mit anderen Worten
eben I(x0)+I(x1) =0.
In Anlehnung an das Ohm’sche Gesetz definieren wir den effektiven Widerstand
zwischen x0 und x1 durch
Reff(x0 ↔ x1) = u(x1) − u(x0)
I(x1)
= 1 1
= −
I(x1) I(x0)
1
und die effektive Leitfähigkeit durch Ceff(x0 ↔ x1) = Reff (x0↔x1) .DaI und u
eindeutig durch die Angabe von x0, x1 und C festgelegt sind, sind Ceff(x0 ↔ x1)
und Reff(x0 ↔ x1) Größen, die sich aus C berechnen lassen.
Wir betrachten nun zwei Mengen A0,A1 ⊂ E mit A0 ∩ A1 = ∅, A0,A1 �= ∅,
und setzen u(x) =0für jedes x ∈ A0 sowie u(x) =1für jedes x ∈ A1. Sei
I der zugehörige elektrische Fluss. In Analogie zu oben treffen wir die folgende
Definition.
Definition 19.17. Wir nennen Ceff(A0 ↔ A1) :=I(A1) die effektive Leitfähigkeit
zwischen A0 und A1 und Reff(A0 ↔ A1) := 1
zwischen A0 und A1.
I(A1) den effektiven Widerstand
Beispiel 19.18. (i) Sei E = {0, 1, 2} mit C(0, 2) = 0, und A0 = {x0} = {0},
A1 = {x1} = {2}. Wir setzen u(0) = 0 und u(2) = 1. Dann ist (mit p(x, y) =
C(x, y)/C(x))
u(1) = 1 · p(1, 2) + 0 · p(1, 0) =
Der gesamte Fluss ist
I({2}) =u(1) C(0, 1) =
=
C(1, 2)
C(1, 2) + C(1, 0) =
R(1, 0)
R(1, 0) + R(1, 2)
Reff(1 ↔ 0)
Reff(1 ↔ 0) + Reff(1 ↔ 2) .
1
R(0, 1) + R(1, 2) =
1
1 1
C(0,1) + C(1,2)
Entsprechend ist Reff(0 ↔ 2) = 1
I({2}) = R(0, 1) + R(1, 2) und Ceff(0 ↔ 2) =
�
1
C(0,1)
+ 1
C(1,2)
� −1.
(ii) (Reihenschaltung) Sei n ∈ N, n ≥ 2 und E = {0,...,n} mit Leitfähigkeiten
C(k − 1,k) > 0 und C(k, l) =0, falls |k − l| > 1. Wie in (i) bekommen wir für
k ∈{1,...,n− 1}
Reff(0 ↔ k)
u(k) =
Reff(0 ↔ k)+Reff(k ↔ n) .
Induktiv (in n) erhalten wir also
.