Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

116 5 Momente und Gesetze der Großen Zahl
oberen Schranke nun das Maximum über alle Partialsummen bis zu einer bestimmten
Grenze abschätzt.
Satz 5.28 (Kolmogorov’sche Ungleichung). Seien n ∈ N und X1,X2,...,Xn
unabhängige Zufallsvariablen mit E[Xi] =0und Var[Xi] 0
P � max{Sk : k =1,...,n}≥t � ≤
sowie die Kolmogorov’sche Ungleichung
Var[Sn]
t 2 + Var[Sn]
(5.10)
P � max{|Sk| : k =1,...,n}≥t � ≤ t −2 Var[Sn]. (5.11)
In Satz 11.2 werden wir mit der Doob’schen Ungleichung eine Verallgemeinerung
der Kolmogorov’schen Ungleichung kennen lernen.
Beweis. Wir führen eine Zerlegung durch nach dem ersten Zeitpunkt τ, zu dem die
Partialsummen t überschreiten. Sei also
τ := min � k ∈{1,...,n} : Sk ≥ t �
und Ak = {τ = k} für k =1,...,nsowie
n�
A = Ak = � max{Sk : k =1,...,n}≥t � .
k=1
Sei c ≥ 0. Die Zufallsvariable (Sk + c) Ak ist messbar bezüglich σ(X1,...,Xk),
und Sn − Sk ist messbar bezüglich σ(Xk+1,...,Xn). Nach Satz 2.26 sind die
beiden Zufallsvariablen unabhängig, und es gilt
E � (Sk + c) Ak (Sn − Sk) � = E � � � �
(Sk + c) Ak E Sn − Sk =0.
Offenbar sind die Ereignisse A1,...,An paarweise disjunkt, also �n k=1 Ak =
A ≤ 1. Wir erhalten so
Var[Sn]+c 2 = E � (Sn + c) 2�
�
n�
≥ E (Sn + c) 2 �
n�
Ak = E � (Sn + c) 2 �
Ak
=
=
≥
k=1
k=1
k=1
n�
E � (Sk + c) 2 �
Ak .
k=1
k=1
n�
E �� (Sk + c) 2 +2(Sk + c)(Sn − Sk)+(Sn − Sk) 2� �
Ak
n�
E � (Sk + c) 2 �
n�
Ak + E � (Sn − Sk) 2 (5.12)
�
Ak
k=1