Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

542 25 Das Itô-Integral
Wir wenden die Itô-Formel separat auf Real- und Imaginärteil an und erhalten
e iλXt − e iλXs � t
=
s
Es folgt
E � e iλ(Xt−Xs) � �
�Fs − 1
�� t
= E iλe iλ(Xr−Xs) �
�
dXr �
s
iλe iλXr dXr − 1
2
� Fs
�
− 1
2 λ2 �� t
E
s
� t
λ
s
2 e iλXr dr.
e iλ(Xr−Xs) �
�
dr �
Nun sind Mt := Re � t
s iλeiλ(Xr−Xs) dXr und Nt := Im � t
s iλeiλ(Xr−Xs) dXr,
t ≥ s, stetige lokales Martingale mit 〈M〉t = � t
s λ2 sin(λ(Xr − Xs)) 2 dr ≤ λ2 (t −
s) und 〈N〉t = � t
s λ2 cos(λ(Xr − Xs)) 2 dr ≤ λ2 (t − s). Nach Korollar 21.76 sind
M und N daher Martingale, also gilt
�� t
E iλe iλ(Xr−Xs) � �
�
dXr � =0.
s
s
� Fs
Der Satz von Fubini liefert (wegen A ∈Fs)
ϕA,λ(t) − ϕA,λ(s) =E � e iλ(Xt−Xs) �
A − P[A]
= − 1
2 λ2
� t
E � e iλ(Xr−Xs) � 1
A dr = −
2 λ2
Das heißt, ϕA,λ ist die Lösung des linearen Anfangswertproblems
ϕA,λ(s) =P[A] und
� t
d
dt ϕA,λ(t) =− 1
2 λ2 ϕA,λ(t).
s
� Fs
�
.
ϕA,λ(r) dr.
Die eindeutige Lösung hiervon ist ϕA,λ(t) =P[A] e −λ2 (t−s)/2 . ✷
Als Folgerung aus dem Satz erhalten wir, dass wir jedes lokale Martingal, dessen
quadratischer Variationsprozess absolutstetig (als Funktion der Zeit) ist, als Itô-
Integral bezüglich einer Brown’schen Bewegung schreiben können.
Satz 25.29 (Itô’scher Martingal-Darstellungssatz). Sei M ein stetiges lokales
Martingal mit absolutstetiger quadratischer Variation t ↦→ 〈M〉. Dann gibt es,
eventuell auf einer Erweiterung des Wahrscheinlichkeitsraums, eine Brown’sche Bewegung
W mit
� �
t
d〈M〉s
Mt =
dWs für alle t ≥ 0.
ds
0
Beweis. Wir nehmen an, dass auf dem Wahrscheinlichkeitsraum eine Brown’sche
Bewegung � W definiert ist, die unabhängig von M ist. (Gegebenenfalls muss der
Wahrscheinlichkeitsraum hierzu erweitert werden.) Sei