Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

22.1 Iterierter Logarithmus für die Brown’sche Bewegung 479
Wegen α>1 ist die rechte Seite von (22.3) summierbar in n
∞� �
P sup B [tn,tn+1] > � �
tnf(tn) < ∞.
n=1
Das Lemma von Borel-Cantelli (Satz 2.7) liefert jetzt (merke: t ↦→ � tf(t) ist monoton
wachsend)
Bt
lim sup � ≤ 1 f.s.
t→∞ tf(t)
Wir lassen α ↓ 1 gehen und erhalten
lim sup
t→∞
Bt
√ 2t log log t ≤ 1 f.s. (22.4)
2. Schritt: ” ≥“ Wir zeigen nun die andere Ungleichung in (22.1). Hierfür lassen
wir α →∞gehen. Setze β := α
α−1
> 1 und g(t) = 2
β 2 log log t.Wähle n0 so groß,
dass βg(tn) ≥ 1 ist für n ≥ n0. Dann ist nach der Brown’schen Skalierung (merke:
tn − tn−1 = 1
β tn) und (22.2) (wegen (x + 1
x )−1 ≥ 1 1
2 x für x =(βg(tn)) 1/2 ≥ 1)
�
P Btn − Btn−1 > � � �
tng(tn) = P B1 > � �
βg(tn)
≥ 1 1 1
√ �
2π 2 βg(tn) e−βg(tn)/2
= 1 1
1
√ (log α)−1/β �
2π 2 βg(tn) n−1/β .
Ist ε ∈ (0, 1 − 1/β), soistfür hinreichend großes n ∈ N die rechte Seite der
vorangehenden Gleichung ≥ n−ε n−1/β ≥ n−1 .Alsoist
∞� �
P Btn − Btn−1 > � �
tng(tn) = ∞.
n=2
Die Ereignisse sind unabhängig, daher liefert das Lemma von Borel-Cantelli
�
P Btn − Btn−1 > � tng(tn)
�
für unendlich viele n =1. (22.5)
tn log log tn n→∞
Wegen
−→ α folgt aus (22.4) zusammen mit der Symmetrie
tn−1 log log tn−1
der Brown’schen Bewegung für ε>0
Btn−1 > −(1 + ε)α−1/2� 2tn log log tn für fast jedes n ∈ N f.s. (22.6)
Aus (22.5) und (22.6) folgt
lim sup
n→∞
Btn √ ≥
2tn log log tn
1
β − (1 + ε)α−1/2 α − 1
= − (1 + ε)α−1/2
α
Bt
Lassen wir nun α →∞, so erhalten wir lim sup √ ≥ 1 f.s. Zusammen
t→∞ 2t log log t
mit (22.4) folgt die Aussage des Satzes. ✷
f.s.