Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

26.2 Schwache Lösungen und Martingalproblem 561
Bemerkung 26.14. Offenbar wird durch jede starke Lösung von (26.15) eine schwache
Lösung definiert. Die Umkehrung ist falsch, wie wir im folgenden Beispiel sehen
werden. ✸
Beispiel 26.15. Betrachte die SDGL (mit Startwert X0 =0)
dXt =sign(Xt) dWt, (26.17)
wobei sign = (0,∞) − (−∞,0) die Vorzeichenfunktion ist. Es gilt genau dann
wenn
� t
Wt =
0
Xt = X0 +
dWs =
� t
0
� t
0
sign(Xs) dWs für alle t ≥ 0, (26.18)
sign(Xs) dXs für alle t ≥ 0. (26.19)
Folgendermaßen gelangen wir zu einer schwachen Lösung von (26.17). Sei X
eine Brown’sche Bewegung auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F, P) und
F = σ(X). Definieren wir W durch (26.19), dann ist W ein stetiges F-Martingal
mit quadratischer Variation
〈W 〉t =
� 1
0
(sign(Xs)) 2 ds = t.
Nach der Lévy’schen Charakterisierung (Satz 25.28) ist W damit eine Brown’sche
Bewegung. Also ist ((X, W), (Ω,F, P), F) eine schwache Lösung von (26.3).
Um zu zeigen, dass es keine starke Lösung gibt, nehmen wir eine beliebige schwache
Lösung her und zeigen, dass X nicht an σ(W ) adaptiert ist. Da X nach
(26.18) ein stetiges Martingal mit quadratischer Variation 〈X〉t = t ist, ist X eine
Brown’sche Bewegung.
Seien Fn ∈ C 2 (R) konvexe gerade Funktionen mit Ableitungen F ′ n und F ′′
n , sodass
�
sup �Fn(x) −|x|
x∈R
� � n→∞
−→ 0,
|F ′ n(x)| ≤1 für alle x ∈ R und F ′ n(x) =sign(x) für |x| > 1
n . Insbesondere gilt
� t
und damit � t
F ′ n(Xs) dXs
0
0
� F ′ n(Xs) − sign(Xs) � 2 ds n→∞
−→ 0 f.s.
n→∞
−→
� t
0
sign(Xs) dXs in L 2 . (26.20)
Indem wir gegebenenfalls zu einer Teilfolge übergehen, können wir annehmen, dass
in (26.20) fast sichere Konvergenz gilt.