Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

24.2 Eigenschaften des Poisson’schen Punktprozesses 513
24.2 Eigenschaften des Poisson’schen Punktprozesses
Satz 24.13. Sei μ ∈M(E) atomlos, also μ({x}) =0für jedes x ∈ E, und sei X
ein zufälliges Maß auf E mit P[X(A) ∈ N0 ∪{∞}]=1für jedes A ∈B(E). Dann
sind äquivalent:
(i) X ∼ PPPμ
(ii) X ist fast sicher doppelpunktfrei, also P[X({x}) ≥ 2 für ein x ∈ E] =0, und
P[X(A) =0]=e −μ(A)
Beweis. (i) =⇒ (ii) Das ist klar.
für jedes A ∈Bb(E). (24.3)
(ii) =⇒ (i) Sind A1,...,An ∈Bb(E) paarweise disjunkt, so ist
P � X(A1) =0,...,X(An) =0 � = P � X � � �
A1 ∪ ...∪ An =0
= e −μ(A1∪...∪An)
=
n�
e −μ(Al)
=
l=1
n�
P[X(Al) =0].
Also sind die Zufallsvariablen � X(A) :=X(A)∧1 unabhängig für disjunkte Mengen
A. Der Rest des Beweises geht wie im Beweis von Satz 5.34. Sei A ∈ Bb(E).
Wähle A0 ⊂ A mit μ(A0) =μ(A)/2 (das geht nach Übung 8.3.1, weil μ atomlos
ist) und setze A1 = A \ A0. Wähle nun in gleicher Weise Ai,0,Ai,1 ⊂ Ai für
i =0, 1 und sukzessive disjunkte Mengen Ai,0,Ai,1 ⊂ Ai für i ∈{0, 1} n−1 mit
μ(Ai) =2−nμ(A) für jedes i ∈{0, 1} n . Setze
Nn(A) := �
�X(Ai).
i∈{0,1} n
Da X doppelpunktfrei ist, gilt Nn(A) ↑ X(A) fast sicher. Andererseits ist nach Voraussetzung
Nn(A) ∼ b 2 n ,2 −n μ(A) für n ∈ N, also konvergiert die charakteristische
Funktion
ϕ Nn(A)(t) = � 1+2 −n μ(A)(e it −1) � 2 n n→∞
−→ exp � μ(A)(e it −1) � = ϕPoi μ(A) (t).
Mithin gilt P Nn(A)
n→∞
−→ Poi μ(A), also X(A) ∼ Poi μ(A).
Sind nun A1,...,Ak ∈ Bb(E) paarweise disjunkt, so sind die analog konstruierten
Nn(A1),...,Nn(Ak) unabhängig, also sind auch die Limiten X(Al) =
limn→∞ Nn(Al), l =1,...,kunabhängig. ✷
l=1