Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

292 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
Satz 15.14. (i) Seien μ1,μ2,... ∈Mf (Rd ) und p1,p2,... nichtnegative Zahlen
mit ∞�
pnμn(R
n=1
d ) < ∞. Dann hat das Maß μ := ∞�
pnμn ∈Mf (R
n=1
d ) die
charakteristische Funktion
∞�
ϕμ = pn ϕμn . (15.3)
n=1
(ii) Es seien N,X1,X2,... unabhängige Zufallsvariablen. Die X1,X2,... seien
identisch verteilt auf Rd mit charakteristischer Funktion ϕX. N habe Werte in
N0 und die Erzeugendenfunktion fN. Dann hat Y := N�
Xn die charakteris-
n=1
tische Funktion ϕY (t) =fN(ϕX(t)).
(iii) Ist in (ii) speziell N ∼ Poiλ,soistϕY (t) =exp(λ(ϕX(t) − 1)).
Beweis. (i) Setzen wir νn = n�
n�
pkμk, so gilt ϕνn = pkϕμk wegen der Li-
k=1
k=1
nearität des Integrals. Nach Voraussetzung ist μ =w-lim
n→∞ νn, also auch ϕμ(t) =
lim ϕνn (t).
n→∞
(ii) Es ist
ϕY (t) =
=
∞�
P[N = n] E � e i〈t,X1+...+Xn〉�
n=0
∞�
n=0
P[N = n] ϕX(t) n = fN (ϕ(t)).
(iii) Der Spezialfall folgt, weil hier fN(z) =e λ(z−1) für z ∈ C mit |z| ≤1. ✷
Beispiel 15.15. Sei n ∈ N, und seien Punkte 0=a0 y1 > ... > yn =0gegeben. Sei ϕ : R → [0, ∞) diejenige gerade Funktion
(also ϕ(x) =ϕ(−x)), die ϕ(ak) =yk für jedes k =0,...,nerfüllt und zwischen
den Punkten ak linear interpoliert ist, sowie ferner ϕ(x) =0für |x| >anerfüllt. Wir wollen zusätzlich annehmen, dass die yk so gewählt sind, dass ϕ auf [0, ∞)
konvex ist. Das ist äquivalent zu der Bedingung, dass m1 ≤ m2 ≤ ... ≤ mn ≤ 0,
wo mk := yk−yk−1 die Steigung im k-ten Intervall ist. Wir wollen zeigen, dass ϕ
ak−ak−1
die charakteristische Funktion eines W-Maßes μ ∈M1(R) ist.
Setze pk = ak(mk+1 − mk) für k =1,...,n.
Sei μk ∈M1(Rd ) die Verteilung auf R mit Dichte 1 1−cos(akπ)
π akx2 . Nach Satz 15.12
�
hat μk die charakteristische Funktion ϕμk (t) = 1 − |t|
� +
. Die charakteristische
ak
Funktion ϕμ von μ := �n k=1 pkμk ist dann